MATLAB.Exponenta
–Û·Ë͇ Matlab&Toolboxes

Обработка сигналов и изображений\Wavelet Toolbox

"Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения" (перевод К.А.Алексеева)

  В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу

9. Аппроксимация в пространствах Бесова

9.1 Введение

Настоящая глава посвящена проблеме аппроксимации функций в пространствах Бесова.

Несомненным достоинством пространств Бесова по сравнению с пространствами Соболева является бόльшая общность описания гладкости функций, а также возможность описания функций посредством коэффициентов их разложения по базису вейвлет: вспомним, пространства Соболева такую возможность не допускают. В связи с этим скажем, что пространства Бесова являют собой весьма удобное средство вейвлет-анализа кривых.

Общие вопросы построения пространств Бесова можно найти в работах [8, 9, 31, 119, 127, 145].

9.2 Пространства Бесова

В настоящем параграфе рассмотрим пространства Бесова, для чего введем в рассмотрение характеристику функций - модуль непрерывности первого и второго порядков.

Определение 9.1 модуля непрерывности. Положим, существует некоторая функция , причем . Вводя оператор разности как и полагая при этом, что , определим модуль непрерывности функции следующим образом:

,

.

Лемма 9.1. Для всякой функции имеют место следующие утверждения:

1) и представляют собой неубывающие функции аргумента , причем ≤2≤4;

2) ;

3) для всех ;

4) для всех ;

5) в том случае, если ;

6) в том случае, если .

Доказательство.

1) Доказательство первого утверждения является очевидным из определения модуля непрерывности;

2) Поскольку , можно записать, что и, таким образом,

.

Полагая , можно видеть справедливость второго утверждения. Дело в том, что неравенство второго утверждения вытекает из простого сравнения представленного ряда и интеграла Римана, в котором подынтегральная функция является неубывающей, тогда как - убывающей;

3) Доказательство следующего неравенства является справедливым в силу того факта, что для всякого ;

4) Поскольку , то, очевидно,

.

>Таким образом, для всякого ;

5) В том случае, если , то или, что то же самое, , имеет место неравенство: ;

6) В том случае, если , то

>.

С другой стороны, . Следовательно,

>

и

>

>.

В настоящей главе используются пространства , поэтому, прежде чем перейти к доказательству следующей леммы, приведем несколько характеристик данных пространств.

Положим, существует некоторое множество действительных чисел и . Определим норму в пространстве следующим образом:

Иначе говоря, пространство представляет собой пространство множеств , норма которых удовлетворяет неравенству .

Аналогичным образом можно определить пространства и их норму множеств . Здесь, правда, исключение составляет изменение обозначения такого пространства - , а также смена пределов суммирования j.

Следующая лемма являет собой дискретный аналог леммы 8.2.

Лемма 9.2. Положим, существуют множества и , причем . Тогда свертки

,

обеспечивают следующую принадлежность , .

Доказательство. Рассмотрим функцию на такую, что :

Ясно, что являет собой норму в взвешенном пространстве .

Определение 9.2. В том случае, если , и , где и , пространство Бесова представляет собой пространство функций , таких что и . Функция в пространстве Бесова имеет норму .

Замечание 9.1. Здесь следует вспомнить неравенство Харди: если , то

для всех и

для случая . Таким образом, для можно записать, что

если , и

,

если . Теперь видно, что при в определении пространства Бесова можно использовать модуль вместо модуля . Однако при данная подмена не может быть справедливой. Действительно, если рассматривать функцию , принадлежащую пространству (пространству Зигмунда), можно увидеть, что норма данной функции . Другим интересным моментом приводимого примера является то обстоятельство, что данная функция удовлетворяет условию Гёльдера с показателем 1-ε. Такое обстоятельство может быть интерпретировано как факт наличия регулярности у функции, равной 1.

Другим примером невозможности подмены является классическое броуновское движение. Действительно, различные фрагменты движения почти удовлетворяют условию Гёльдера с показателем , не являясь при этом чисто гёльдеровыми. Правда, истинная регулярность фрагментов броуновского движения всё же равняется ½, поскольку они принадлежат пространству .

Определение 9.2 можно дискретизировать, например, посредством следующего определения.

Определение 9.3. Пространство Бесова является пространством функций

таких, что и . При этом норма функции, принятая в таком пространстве, определяется следующим образом:

.

Отметим, эквивалентность определений 9.2, 9.3 имеет место, благодаря тому факту, что функция является неубывающей, тогда как функция - напротив, убывающей. Действительно, можно записать, что

и

.

Замечание 9.2. При рассмотрении леммы 9.2 можно заметить, что для и нецелого функция может быть заменена функцией . Наличие целого значения у показателя подразумевает, напротив, использование функции . Здесь для пояснения сказанного достаточно показать, например, что говорит о функции как о константе.

9.3 Разложение Литтлвуда-Пэли

В настоящем параграфе представляется целесообразным охарактеризовать пространства Бесова посредством использования разложения Литтлвуда-Пэли. Кроме того, кажется полезным приведение некоторых элементов теории распределения Шварца.

Обозначим пространство бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем через , тогда как через - обычное пространство Шварца (пространство бесконечно дифференцируемых функций, убывающих вместе со своими производными быстрее любых наперед заданных полиномов).

Положим, существует некоторая функция , образ Фурье которой (см. рис. 9.1) обладает следующими свойствами: , и при . Предположим также, что существует функция , образ Фурье которой (см. рис. 9.2) может быть задан выражением . Весьма важным является то обстоятельство, что функция может подвергаться масштабированию на уровнях таким образом, что и, следовательно, претерпевать масштабирование в спектральной фурье-области: , причем

. (9.1)

Рис. 9.1. Образ Фурье функции при

Рис. 9.2 Образ Фурье функции при

Из (9.1) следует, что для всякой функции данное выражение может быть переписано в виде:

. (9.2)

Переписывая во временной области данное выражение в операторной форме

, (9.3)

где , , нетрудно догадаться, что

(9.4)

для любой функции (здесь круглые скобки обозначают операцию внутреннего произведения функций).

Отметим, выражения (9.1) - (9.4) представляют собой основные выражения, характеризующие разложение Литтвуда-Пэли.

Лемма 9.3 (теорема Бернштейна). Положим, существует функция для такая, что ее образ Фурье удовлетворяет условию: . Тогда можно отыскать некоторую константу такую, что для всех .

Доказательство. Рассмотрим функцию при , положив, что . Тогда, очевидно, можно сказать, что образ Фурье данной функции имеет вид. В том случае, если , имеет место также временная запись ; следовательно, запись также является справедливой. При этом, в силу леммы 8.2 можно утверждать, что , где .

Лемма 9.4. Положим, существует функция для такая, что для . Тогда будем утверждать, что и

. (9.5)

Доказательство. В случае разложения Литтлвуда-Пэли функции имеет место неравенство

,

позволяющее считать, что . Аналогичным образом можно сказать, что подобное неравенство выполняется для оператора разности:

.

Поскольку согласно лемме 9.1 (п.1) для любого значения , видно, что для любых функций .

Теорема 9.1. В том случае, если , , и , функция принадлежит пространству тогда и только тогда, когда

. (9.6)

Доказательство необходимости (9.6). Предположим, что функция и , где и , тогда функция имеет компактный носитель и в силу свойства (4.10)

.

Следовательно,

,

причем здесь представляет собой функцию из пространства , определяемую как , тогда как функция принимает значение, равное 1 в пределах носителя образа , и нулевое значение в окрестности точки 0.

Согласно лемме 8.2,

. (9.7)

Здесь правая часть неравенства (9.7) получена интегрированием по частям и использованием того факта, что . Оценим значение данной нормы, для чего рассмотрим интеграл . Поскольку функция является четной,

=

,

что, согласно леммам 8.1, 9.1, обеспечивает в итоге:

. (9.8)

Здесь представляет собой некоторую положительную константу: дело в том, что интеграл, входящий в неравенство, является конечным в силу того, что функция обладает компактным носителем и при этом может быть бесконечно дифференцируема. Следовательно, на основании свойства 4.1, приведенного в главе 4, по мере того, как для всякого

Таким образом, на основании выражений (9.7), (9.8) можно показать, что

, (9.9)

причем есть некоторая константа. В то же время, по определению 9.3 в том случае, если функция принадлежит пространству , тогда . Из этого можно заключить, что и, следовательно, факт того, что , становится очевидным.

Доказательство достаточности (9.6). Положим, что , , где , и принадлежит пространству . Тогда

, (9.10)

что в свете леммы 8.2 даёт:

. (9.11)

В частности, из этого следует, что

(9.12)

и на основании леммы 9.4 .

Теперь остаётся доказать, что . Действительно, руководствуясь определением 9.3, при можно использовать грубую оценку (лемма 9.1, п.1):

,

в которой есть константа. Далее, можно записать, что

(9.13)

и

. (9.14)

Более тонким доказательство является для случая . Здесь носитель образа Фурье включает интервал и , таким образом, согласно лемме 9.3, его норма

, (9.15)

в которой есть константа. Используя лемму 9.1 (п.6), а также выражения (9.11), (9.15), можно найти, что

, (9.16)

где есть константа.

Привлекая к доказательству выражение (9.12) и используя при этом лемму 9.4, для имеем:

. (9.17)

Кроме того, видно, что

, (9.18)

где .

С другой стороны, на основании леммы 9.1 (п.1) и выражения (9.11)

, (9.19)

где .

Наконец, основания, использованные для вывода выражений (9.11), (9.15), дают:

, (9.20)

где - положительные константы.

Финалом доказательства является совместное рассмотрение выражений (9.17) - (9.20), обеспечивающих следующий вывод:

или, при добавлении к рассмотрению выражений (9.13), (9.14) вывод

,

что доказывает теорему.

Теорема 9.1 позволяет получить следующую характеристику пространств Бесова.

Теорема 9.2. Положим есть некоторое целое, , и . Потребуем также, чтобы функция была измерима по Борелю на . Тогда необходимое и достаточное условие для того, чтобы , выглядит следующим образом:

, (9.21)

причем

(9.22)

где .

Замечание 9.3. Равенство (9.21) является аналогичным разложению Литтлвуда-Пэли. Точнее говоря, для любой функции .

Доказательство. Необходимость является прямым следствием теоремы 9.1 при условии, что . Второе неравенство в выражении (9.22) следует из леммы 9.3 (действительно, носитель образа Фурье включает интервал ).

Покажем, что условия (9.21) и (9.22) являются необходимыми для того, чтобы . Иначе говоря,

для любых . Следовательно, ряд сходится в гильбертовом пространстве и при этом справедливо неравенство:

. (9.23)

Теперь можно записать, что

. (9.24)

Оценим первую сумму в выражении (9.24):

, (9.25)

где, как и в доказательстве теоремы 9.1, представляет собой функцию, определяемую как . Отыскивая обратное преобразование правой и левой частей полученного выражения, имеем:

.

Это означает, что

. (9.26)

Собирая вместе выражения (9.23), (9.24), легко получить выражение (9.6) и таким образом доказать, что .

9.4 Теорема аппроксимации в пространствах Бесова

Результат, представленный в данном параграфе, является аналогом теоремы 8.1 об аппроксимации в пространствах Соболева, изложенной ранее.

Теорема 9.3. В том случае, если ядро аппроксимации удовлетворяет условиям для всех и для всех , и , тогда , где .

Доказательство. Положим, ряд представляет собой разложение Литтлвуда-Пэли функции . Поскольку в связи с этим ряд также представляет собой разложение Литтлвуда-Пэли, можно записать, что

(9.27)

на основании выполнения условия и леммы 8.2. По теореме 9.1

, (9.28)

причем носитель образа Фурье функции находится в пределах . Из этого следует, что

, (9.29)

где некоторая константа. Таким образом, функция удовлетворяет требованиям, формулируемым в теореме 8.1 (п.2).

Поступая аналогичным теореме 8.1 образом, запишем:

, (9.30)

где есть константа, не зависящая от .

Положим, параметр принимает значение . Тогда, согласно лемме 9.1 (п.5), а также выражениям (9.29), (9.30) имеем:

. (9.31)

Теперь, используя данное неравенство, можно записать:

.

Замечание 9.4. Следующее выражение можно получить непосредственно из выражения (9.30):

,

доказывающее теорему 9.3 для случая . Можно сказать, разложение Литтлвуда-Пэли есть цена, которую надо платить за целое значение .

9.5 Вейвлеты и аппроксимация в пространствах Бесова

В настоящем параграфе рассмотрены аналогии между вейвлет-разложением функций и разложением Литтлвуда-Пэли, наблюдающиеся при некоторых условиях.

Пусть, как и ранее, скейлинг и вейвлет-функции определяются следующим образом:

,

,

где . Кроме того, известно, что функция может быть разложена в сходящийся в гильбертовом пространстве ряд

, (9.32)

в котором коэффициенты аппроксимации и детализации рассчитываются как

,

.

Рассмотрим ядро аппроксимации и разложение функции в ряд с его использованием:

,

,

показывающий, помимо прочего, тот факт, что

. (9.33)

Положим, представляет собой норму коэффициентов аппроксимации в пространстве . Предположим также, что скейлинг-функция удовлетворяет условию существования -функции , введенному в п. 8.5 предыдущей главы. Тогда, согласно утверждению 8.6 (п.5), данное условие является также справедливым для вейвлет-функции.

Применяя утверждение 8.3 к неравенству Рисса, можно получить:

, (9.34)

. (9.35)

Теорема 9.4. В том случае, если представляет собой скейлинг-функцию, удовлетворяющую условиям , , и , , , тогда

1) и, следовательно, , причем , где ;

2) и, следовательно, , причем , где .

Доказательство.

1). Первое утверждение теоремы является прямым следствием теоремы 9.3, поскольку выполнение условия подразумевает выполнение условия ;

2). На основании выражения (9.34) и замечания 8.3 можно записать, что

.

С другой стороны, на основании выражения (9.35) и предыдущего доказательства можно записать, что

.

Замечание 9.5. Более грубый результат может быть получен в случае, если скейлинг-функция удовлетворяет условию . Тогда ядро аппроксимации удовлетворяет условию и, следовательно,

(9.36)

при в случаях, если и , либо и . Можно также записать, что , , при слабой топологии для всякой функции из гильбертова пространства. Действительно, вводя в рассмотрение некоторую функцию , имеем:

,

где .Между тем, сопряженной ядро также удовлетворяет условию , что подразумевает следующее обстоятельство: по мере и, как результат,

.

Как видно, результат теоремы 9.4. является аналогичным результату, полученному для проблемы аппроксимации в пространстве Соболева: предположения и требования, предъявляемые к скейлинг-функции, в доказанных теоремах являются схожими. Действительно, для всех можно записать, что и, следовательно, , причем , где . Сказанное означает, что и, следовательно, , причем

, (9.37)

где . Между тем, использование теоремы 8.1 (п.1), теоремы 8.3 и теоремы 9.4 обеспечивает результат: и, следовательно, , причем , где , а также и, следовательно, , причем

, (9.38)

где , тогда как представляет собой пространство последовательностей, стремящихся к 0.

Необходимо отметить, что утверждения, полученные в виде (9.37), (9.38), не могут быть обратными: дело в том, что пространства Соболева не могут быть охарактеризованы посредством вейвлет-коэффициентов. В то же время, пространства Бесова позволяют принимать подобные характеристики.

Теорема 9.5. В том случае, если скейлинг-функция удовлетворяет условиям (8.33), (8.34), а также условию существования -функции, и при этом дифференцируема так, что ()-ая производная также удовлетворяет условию существования -функции, тогда для , , и функции можно утверждать, что

1) , где и, следовательно, ;

2) , , где , и , следовательно, .

Доказательство.

1). Положим, что , . Тогда норма

, (9.39)

где .

Далее, можно показать, что можно отыскать такие коэффициенты , что

,

поскольку в общем случае . Таким образом, согласно утверждению 8.3,

, (9.40)

но поскольку

,

то в нотации норм,

.

Принимая во внимание выражения (9.34), (9.35), можно записать данное выражение также в следующем виде:

. (9.41)

Теперь остаётся лишь показать, что выражения (9.39) и (9.41) обеспечивают справедливость выражения (9.22), что, в свою очередь, делает справедливым утверждение .

2). Предположения, вынесенные в формулировку теоремы, совместно с выражениями (9.34), (9.35) предполагают, что , , где . Следовательно, можно заключить, что

и ряд сходится к в пространстве . Действительно, можно показать, что

для всякого и, следовательно,

,

где согласно лемме 9.2.

Окончание доказательства подразумевает лишь использование части 1) доказательства настоящей теоремы.

Теорема 9.6. В том случае, если скейлинг-функция удовлетворяет условиям (8.33), (8.34), а также условию существования -функции и условию , и при этом дифференцируема так, что ()-ая производная также удовлетворяет условию существования -функции, тогда для , , и функции следующие утверждения являются эквивалентными:

В1) ;

В2) , где ;

В3) , , где .

Доказательство. Импликации В2)=>В1), В3) =>В1) следуют непосредственно из теоремы 9.5, поскольку условие , накладываемое на скейлинг-функцию, подразумевает выполнение условия существования -функции.

В то же время импликации В1)=>В2), В1) =>В3) следуют из теоремы 9.4, которая позволяет также утверждать, что .

Вывод 9.1. Руководствуясь предположениями, высказанными при формулировании теоремы 9.6, можно утверждать, что норма функции в пространстве Бесова , рассчитываемая для , , является эквивалентной норме, рассчитанной в пространстве коэффициентов разложения данной функции:

,

в которой

,

.

Пример 9.1. С целью корректной аппроксимации некоторой функции с показателем , является достаточным использование вейвлет-разложение данной функции вейвлетом Добеши .

В заключение необходимо отметить, что описание пространства Бесова в терминах коэффициентов разложения возможно лишь при использовании регулярных вейвлетов. Действительно, при использовании результатов теоремы 9.6 можно увидеть, что скейлинг-функция должна быть дифференцируема не менее раз. Однако в силу выражения (7.10) необходимое свойство дифференцируемости могут обеспечить лишь функции и более высоких порядков. В противном случае остаётся довольствоваться приближенными оценками: здесь для этих целей годятся функции при достаточно большом .

Итак, можно, наконец, показать, что часть промежуточных теорем может быть доказана на основании приведенных уже результатов.

Вывод 9.2. Положим, , , , тогда

1) ;

2) для любого ;

3) в том случае, если ;

4) в том случае, если .

  В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу


Поиск по сайту:

Система Orphus

Яндекс.Метрика