MATLAB è Simulink íà ðóññêîì

https://hub.exponenta.ru/

Обработка сигналов и изображений\System Identification Toolbox

Е.В.Никульчев "Идентификация систем в Matlab 6"
Виды моделей

  В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу

System Identification Toolbox предоставляет ряд динамических моделей.

Схема идентифицируемой системы имеет вид, показанный ранее (см. рис. 1). Предполагается, что имеются данные о значениях входных и выходных параметров, измеренные с некоторым интервалом времени. Следовательно, входной и выходной сигналы представляют собой дискретные функции, т.е. вход –

u(t); t = 1, 2, …, N,

выход –

y(t); t = 1, 2, …, N.

Предположим, что сигналы связаны системой линейно, тогда преобразование “вход-выход” может быть записано в виде

,                                                                                                              (1)

где q - оператор сдвига и

;                                                                                                      (2)

; q–1u(t) = u(t –1)                                                                                              (3)

Числа {g(k)} называются импульсной передаточной функцией системы. Ясно, что g(k) является выходом системы во время k, если в начальный момент времени на вход системы подается импульс. Функция G(q) названа передаточной функцией системы. Эта функция, определенная на единичном круге (q = iw ), дает частотную передаточную функцию

                                                                                                                                             (4)

В (1) v(t) – дополнительная функция, представляющая собой шум (помехи). Эго характеристикой может выступать спектральная плотность (спектр)

,                                                                                                                                               (5)

определяемая как

,                                                                                                              (6)

где - ковариационная функция шума v(t)

,                                                                                                               (7)

M – символ математического ожидания. Альтернативно, помеха может быть описана как отфильтрованные белые шумы

,                                                                                                                               (8)

где H(q) – белые шумы с параметром l и

.                                                                                                               (9)

Все приведенные выше уравнения (1) – (9) вместе дают описание временной области системы

,                                                                                                      (10)

где G – передаточная функция системы. Уравнения (4) и (5) составляют описание частотной области:

;

Импульсная передаточная функция (3) и частотные характеристики (3-11) называются непараметрическими моделями, так как они не определены в терминах конечного числа параметров.

Основное описание (10) может использоваться и в случае множества переменных; то есть, система имеет несколько (обозначим nu) входных сигналов и несколько (ny) выходных сигналов. В том случае G(q) является матрицей размерности ny x nu, а H(q) ФV(w ) матрицами размерности ny x ny.

Функции G и Н могут быть описаны как рациональные функции от –1.

Одна из моделей, включенная в System Identification Toolbox – модель ARX, которая имеет вид

;

где B и А - многочлены в операторе задержки –1:

,                                                                                                (13)

.

Здесь, числа na и nb – порядки соответствующих полиномов, nk – число задержек от ввода(входа) до выхода. Модель обычно записывается

                                                                                              (14)

или явно

                                               (15)

Выражения (14) – (15) могут быть обобщены для случая со многими переменными. Тогда A(q) станет матрицей размерности ny x ny, а B(q) матрицей размерности ny x nu.

Другой главной, и более общей моделью является ARMAX структура

,                                                                                      (16)

где A(q) и B(q) определяются в соответствии с (13), а

Структура модели ошибки выходной величины (OE) получена как

                                                                               (17)

с

Так называемая модель Бокса-Джекинса (BJ) имеет вид

                                                                                             (18)

где

.

Все эти модели - частные случаи общей параметрической модели:

                                                                                    (19)

Параметры белого шума {e(t)} приняты за l .

В пределах структуры (19), могут быть фактически получены все линейные модели систем типа “черного ящика”. Так модель ARX очевидно получена при nc = nd = nf = 0. Структура ARMAX соответствует  = nf = 0. Модель ОЕ получена для na = nc = nd = 0, в то время как модель BJ переписывается c nd = nd = nf =0.

Тот же самый тип моделей может быть определен для систем с произвольным числом входов. Они имеют форму

                              (20)

Общий подход к описанию линейных систем состоит в том, чтобы использовать модели в пространстве состояний:

                                                                                                       (21)

Здесь зависимость между входом и выходом определяется через nx-мерный вектор состояний. В форме (21) передаточная функция переписывает в виде

,                                                                                                        (22)

где Inx – единичная матрица размерности nx. Ясно, что (21) может рассматриваться как один из способов параметризации передаточная функции. С помощью (22) G(q) становится функцией матриц A, B, C, и D.

В System Identification Toolbox используется следующая модель в пространстве состояний

                                                                                               (23)

Использование этого представления позволяет учитывать шумы и находить линеаризованные уравнения нелинейных объектов.

В случае (23) G(q) определяется по формуле (22), а H(q) –

,                                                                                                         (24)

где ny размерность y(t) и e(t).

Часто возможно установить описание системы прямо в (23). В других случаях, предпочтительно описать сначала шумы, которые действуют на систему. Это ведет к стохастическому пространству состояний. Модель

                                                                                                 (25)

где w(t) и e(t) – стохастические процессы с некоторой степенью коррелированности. В условиях стационарности и в зависимости от вида преобразования “вход-выход”, можно записать (25) эквивалентно (23). Тогда матрица K выбирается как фильтр Калмана.

Часто проще описать систему в виде непрерывной динамической модели. Причина в том, что, как правило, физические законы представляют собой дифференциальные уравнения. Поэтому, моделирование физических явлений обычно ведет к описаниям пространства состояний

                                                                                                          (26)

Здесь, kT <=  t  <=  (k+1)T, тогда зависимость между u[k] = u(kT) и y[k] = y(kT) может быть точно выражена (21), причем

; .                                                                                                     (27)

Непрерывная динамическая модель пространства состояний в System Identification Toolbox –

                                                                                                              (28)

Соответствие между и K  осуществляется на основе выражения

.                                                                                                                                       (29)

   В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу


Поиск по сайту:


Система Orphus