MATLAB.Exponenta
MATLAB и Simulink на русском
Технологии разработки и отладки
		сложных технических систем
 

Математика\SNAE Toolbox

В.Д.Борисевич, В.Г.Потемкин, С.П.Струнков "Пакет прикладных программ для решения систем нелинейных алгебраических уравнений от двух переменных"
Математические основы

  В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу

1.3. Квазитреугольная форма сингулярных пучков

Рассмотрим сингулярный пучок a - l b размера m x n. Пусть X и Y - подпространства, принадлежащие Cn и Cm соответственно, причем

Y = aX + bX.                                                                     (1.6)

Выделим подпространства X и Y   размерности l  и k. Построим для них унитарные блочные матрицы Q и Z

image4581.gif (1063 bytes)                                             (1.7)

порядков n и m, соответственно, такие, что

X = <Z1>; Y = <Q1>.                                                            (1.8)

Как следует из (1.6), image4583.gif (1135 bytes), где ( )H обозначает эрмитово сопряжение. Таким образом, справедливо соотношение

image4584.gif (1759 bytes).             (1.9)

Описанное здесь приведение к квазитреугольному виду будем называть элементарным. Важно отметить, что элементарные приведения осуществляются при помощи унитарных (или ортогональных) матриц Q и Z.

Используем теперь эти рассуждения для описания алгоритма приведения сингулярного пучка a -l b к квазитреугольному виду

image4585.gif (1532 bytes),                     (1.10)

в котором каноническая форма Кронекера блока ari -l bri содержит все элементарные блоки вида Ji(image002.gif (173 bytes) ) и LiT пучка
a - l b, а остальные элементарные блоки (т.е. блоки вида Li и l E - J) входят в состав формы Кронекера блока
afl - l bfl. Для простоты будем считать, что между строками и столбцами матрицы l b нет постоянных линейных зависимостей, т.е. в канонической форме Кронекера отсутствует блок Zlr. Алгоритм приведения пучка к такому квазитреугольному виду предложен в работе [6]. Такое приведение получается последовательностью элементарных приведений, описанных выше, поэтому матрицы Q и Z, с помощью которых осуществляется это приведение, являются унитарными (или ортогональными). Это обстоятельство гарантирует устойчивость алгоритма.

Пусть X = Ker(b), Y = aX - соответствующее разложение вида (1.9). Тогда каноническая форма Кронекера пучка
c22 l d22 содержит те же блоки вида Li и l E - J и в том же количестве, что и пучок a - l b. Такое разложение можно получить с помощью следующего построения.

Выберем матрицу Z так, что <Z1> = Ker(b); полагая n1 = dim Ker(b), имеем

image4586.gif (1230 bytes).                                            (1.11)

Выберем Q так, что <Q1> = Im(X) = aX; полагая m1 = dim Im(X) , имеем

image4587.gif (1689 bytes),                            (1.12)

Теперь шаг (1.11-1.12) можно повторить для пучка a22 l b22. Последовательное выполнение этих операций эквивалентно одному приведению, в котором унитарная матрица Z = [Z1 | Z2 |...], где <Z2> = Ker(b22). При этом
n2 = dim Ker(b22) <= m1, так как в противном случае подпространство Ker(b22) = <Z2> будет содержать столбцы, принадлежащие подпространству Ker(b12) = <Z1>. Соответствующая матрица Q строится аналогично. Продолжая таким образом процесс приведения до тех пор, пока на некотором шаге l не образуется пучок al+1,l+1 - l bl+1,l+1, для которого Ker(bl+1,l+1) = {0} [7]. После этого процесс приведения прекращается и в результате получаем матрицу

image4588.gif (1536 bytes)

image4589.gif (2100 bytes)                       (1.13)

При этом выполняются следующие неравенства

image4590.gif (1221 bytes).                     (1.14)

При решении СНАУ, как правило, выполняется условие m = rank[a b], и тогда квазитреугольная форма для матричного пучка приобретает вид

image4591.gif (1444 bytes).                                             (1.15)

Эта структура имеет единственный блок Df  с конечными собственными значениями и не имеет блока Dl, соответствующего левым полиномиальным решениям. Это позволяет использовать RGSVD (Reiterative General Singular Value Decomposition) - алгоритм [8] для выделения регулярного блока из матричного пучка.

  В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу


Поиск по сайту:

Система Orphus

Яндекс.Метрика