MATLAB.Exponenta
MATLAB и Simulink на русском
Технологии разработки и отладки
		сложных технических систем
 

Математика\SNAE Toolbox

В.Д.Борисевич, В.Г.Потемкин, С.П.Струнков "Пакет прикладных программ для решения систем нелинейных алгебраических уравнений от двух переменных"
Математические основы

  В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу

1.1. Прямоугольные и квадратные матрицы, ранги, жордановы формы

Система строк (столбцов) матрицы

image4571.gif (1599 bytes)                                                                             (1.1)

называется базисной системой строк (столбцов), если она сама линейно независима, а система строк (столбцов), полученная присоединением к ней дополнительных строк (столбцов), уже является линейно зависимой. В курсе линейной алгебры доказывается, что число строк r , входящих в любую базисную систему строк, не зависит от выбора этой базисной системы и называется рангом матрицы A по строкам. Аналогичный факт верен также для базисных столбцов матрицы A и при этом ранги матрицы по строкам и по столбцам равны, и это общее число называется рангом матрицы A.

Чаще всего ранг матрицы вычисляют с помощью элементарных преобразований. Элементарными преобразованиями строк называются следующие преобразования:

  1.  перестановка местами любых строк;
  2.  умножение всех элементов строки на любое ненулевое число;
  3.  прибавление к элементам какой-нибудь строки соответствующих элементов любой другой строки;
  4.  вычеркивание нулевых строк, т.е. строк все элементы которых равны нулю.
  5. Элементарные преобразования столбцов определяются аналогично. Элементарные преобразования строк и столбцов не меняют ранга матрицы. Легко проверить, что преобразования 1-3 можно реализовать при помощи умножения матрицы A справа на какую-нибудь невырожденную квадратную матрицу размера m x m. Опишем метод вычисления ранга матрицы с помощью элементарных преобразований строк. Заметим, что обычно к преобразованиям 1-4), определенным выше, добавляют еще одно преобразование

  6. перестановки любых столбцов матрицы.

На первом шаге (после вычеркивания нулевых строк) выбирают максимальный по модулю (т.е. главный) элемент матрицы A и преобразованиями 1, 5 переводят его в левый верхний угол матрицы A, т.е. на позицию А(1, 1). Затем преобразованиями 2, 3 делают нулевыми все элементы первого столбца, кроме выбранного. Затем (снова после вычеркивания нулевых строк, если они есть) выбирают главный элемент среди элементов (новых) строк и столбцов преобразованной (на первом шаге) матрицы A, номера которых больше числа 1, и преобразованиями 1, 5 помещают его на позицию А(2, 2). После этого преобразованиями 2, 3 добиваются того, чтобы все элементы во втором столбце во всех строках, начиная с третьей, стали равными нулю и т.д.
В результате таких преобразований получается матрица, все диагональные элементы которой отличны от нуля, а элементы, стоящие под диагональю, равны нулю. Число строк r полученной матрицы равно рангу заданной матрицы A.

Будем использовать следующие фундаментальные свойства ранга матрицы:

    1. для любой матрицы A размера m x n и любых невырожденных матриц B и C размеров соответственно
      m xm и n x n ранги матриц A и BAC совпадают;
    2. размерность пространства решений следующей линейной однородной системы уравнений с матрицей системы A

image4572.gif (1425 bytes)                                                                                                    (1.2)

равна n - rank(A). Систему вида (1.2) коротко будем записывать в виде Ax = 0.

Жордановой клеткой порядка s называется матрица

image4573.gif (2098 bytes),                                                                                  (1.3)

где a - некоторое комплексное число.

Будем говорить, что данная квадратная матрица J является матрицей Жордана, если она квазидиагональная и при этом ее диагональные блоки являются клетками Жордана image4574.gif (1241 bytes).

В курсе линейной алгебры доказывается, что любая квадратная матрица A может быть приведена к жордановой форме, т.е. для нее существует невырожденная матрица C, такая, что матрица C-1AC является матрицей Жордана. При этом две различные жордановы формы матрицы A имеют одни и те же клетки Жордана, только порядок их расположения может отличаться. Легко видеть, что числа a i жордановых клеток жордановой формы = C-1AC матрицы A являются ее характеристическими числами. При этом из приведенных выше свойств ранга матриц вытекает, что число всех жордановых клеток квадратной матрицы A порядка n, диагональные элементы которых равны нулю, составляет n - rank(A). Это число совпадает с размерностью пространства решений линейной системы однородных уравнений Ax = 0.

  В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу


Поиск по сайту:

Система Orphus

Яндекс.Метрика