MATLAB.Exponenta
–Û·Ë͇ Matlab&Toolboxes

Simulink

Работы-участники конкурса Simulink-моделей.

Модель динамической системы нецелого порядка

архив работы zip-файл

Васильев Всеволод Викторович, д.т.н., руководитель Отделения гибридных моделирующих и управляющих систем в энергетике, Институт проблем моделирования в энергетике НАН Украины (ОГМУСЭ ИПМЭ)

Симак Лилия Алексеевна, д.т.н., ведущий научный сотрудник ОГМУСЭ ИПМЭ, vsvv@visti.com, 01025 Киев, 25, а/я 169, т/ф. 380(44)228-04-39

Тодорова Анна Михайловна, научный сотрудник ОГМУСЭ ИПМЭ, todorova@visti.com

Назначение разработки:

Cоздание виртуальных прототипов динамических систем нецелого порядка, синтез контроллеров автоматических систем управления

Решается дифференциальное уравнение нецелого порядка где , f - заданная функция на интервале [0, 1], и x - неизвестная функция. Здесь - дробная производная порядка функции х по Риману-Лиувиллю ( где - Гамма-функция).

Рассмотрим случай, когда , А = -1, , начальные условия . Точное решение уравнения . Уравнение решается в операционной области - все сигналы представляются методами полиномиальной аппроксимации, а именно блочно-импульсной аппроксимацией либо интерполяционно-экстраполяционным методом.

На рис. 1 представлена S-модель (файл fde_an.mdl), определяющая спектр поступаемого сигнала f(t) по определенному методу.

Рассмотрим эти методы. Интервал определения сигнала [0, T] разбивается на m одинаковых отрезков длиной h=T/m каждый. На полученной решетке аргумента вводится система блочно-импульсных базисных функций: где - функция единичного скачка, определяемая как

Cигнал х(t) восстанавливается в виде кусочно-постоянной аппроксимации: где - блочно-импульсный спектр сигнала, определяемый по формуле:

Можно дополнить систему блочно-импульсных функций подсистемой блочно-треугольных функций, определяемых по формуле: Тогда аппроксимация сигнала будет иметь вид:

Рис. 1. Модель расчета коэффициентов спектра сигнала

а расчет коэффициентов аппроксимирующего импульсного спектра проводится по формуле

В модели, представленной на рис.1, блок BF генерирует базисные функции и (рис. 2а, б), блоки F0 и F1 рассчитывают коэффициенты и соответственно (рис. 3а, б). Блок Ramp отображает развертку по временной оси.

а)

б)

Рис. 2. Базисные функции: а) блочно-импульсные функции (подсистема Block Pulse Functions на рис. 2б),

б) блочно-треугольные функции.

а)

б)

Рис. 3. Расчет коэффициентов: а) блочно-импульсного спектра, б) аппроксимирующего импульсного спектра

На последнем шаге моделирования производится запись вектора значений спектра в рабочую область.

На рис. 4 (файл fde_model.mdl) представлена модель, рассчитывающая решение дифференциального уравнения, приведенного в начале, в операционной области. Проинтегрируем уравнение и с учетом нулевых начальных условий, перейдем к уравнению в операционной области: где Е - единичная матрица порядка m; Р(1/2) - матрица интегрирования порядка 1/2; F - спектр интеграла правой части уравнения.

Операционная матрица интегрирования порядка , которая заменяет операцию интегрирования в операционной области, рассчитывается по формуле:

Здесь - номер диагонали матрицы.

В верхней части S-модели на рис. 4 производится расчет спектра решения уравнения , а в нижней части по полученному спектру восстанавливается сигнал решения и сравнивается с точным решением, которое задано отдельно. При расчете спектра решения используется блок Integr_Matrix (рис. 5), рассчитывающий матрицу интегрирования, и вектор блочно-импульсных коэффициентов для (правой части уравнения).

Реконструкция решения производится по двум методам: блочно-импульсному и интерполяционно-экстраполяционному. Формулы блочно-импульсной аппроксимации приводились выше. А суть интерполяционно-экстраполяционного метода заключается в следующем. Кривая, описывающая приближенное решение, интерполируется по точкам, что находятся посередине блочно-импульсной аппроксимации на каждом подинтервале. А на половинах подинтервалов в начале и конце интервала моделирования кривая экстраполируется. Формула, по которой производится расчет, имеет вид:

Рис. 4. Модель дифференциального уравнения нецелого порядка

Эту формулу удобно представлять в таком виде: система стандартных блочно-импульсных функций сдвигается на половину подинтервала, и после этого для получения необходимого сигнала умножается на соответствующий спектр. Сдвиг блочно-импульсных функций производит блок Shifted BF (рис. 6). Расчет коэффициентов спектра выполняет блок Modified coefficients (рис. 7).

Рис. 5. а) Модель матрицы интегрирования, б) подсистема Subsystem1 (подсистемы Value1 и Value2 рассчитывают вспомогательные значения из формулы для матрицы интегрирования)

Рис. 6. Сдвинутые на половину подинтервала блочно-импульсные базисные функции

Рис. 7. Расчет коэффициентов для интерполяционно-экстраполяционного метода

Результаты работы модели выводятся на экраны осциллографов и приведены на рис. 8.



а)



б)

Рис. 8. а) Точное решение уравнения, блочно-импульсная аппроксимация и аппроксимация по интерполяционно-экстраполяционному методу; б) соответствующие ошибки аппроксимации

Выводы: комплекс Simulink, Control Toolbox, Digital Signal Processing является весьма удобным инструментарием для моделирования динамических систем и систем управления и позволяет отрабатывать новые математические модели и алгоритмы управления перед их технической реализацией.


Поиск по сайту:

Система Orphus

Яндекс.Метрика