MATLAB.Exponenta
MATLAB и Simulink на русском
Технологии разработки и отладки
		сложных технических систем

Математика\Partial Differential Equations (PDE) Toolbox

Шмелев В.Е., Сбитнев С.А.

"ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ"

"ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ"

Глава 5. Переменное гармоническое электромагнитное поле.

§ 5.1. Основные уравнения электромагнитного поля в комплексной форме.

Гармоническое электромагнитное поле. Основные понятия и определения

Электромагнитное поле, в котором токи, заряды, потенциалы и составляющие векторов меняются по гармоническому закону с одной и той же заданной частотой, называется гармоническим электромагнитным полем. Для анализа таких полей целесообразно использовать метод комплексных амплитуд, который применяется в теории цепей синусоидального тока. Пусть в декартовой системе координат задан некоторый вектор N(Q,t), составляющие которого меняются по гармоническому закону с одинаковой частотой

(1)

Амплитуды и начальные фазы составляющих могут быть функциями пространственных координат, но не зависят от времени. При совпадении фаз всех трех составляющих вектор будет меняться по закону синуса, не меняя направления в пространстве. В этом случае говорят, что вектор N(Q,t) линейно поляризован. В общем случае, когда , вектор будет вращаться в пространстве, описывая при этом эллипс. В этом случае говорят, что вектор N(Q,t) эллиптически поляризован.

Комплексной амплитудой вектора N(Q,t) будем называть векторное значение, определяемое выражением

С учетом введенного обозначения выражение (1) можно записать в виде

(2)

Комплексным действующим значением вектора N будем называть выражение

С учетом этого обозначения выражение (2) для мгновенного значения вектора можно записать в виде

Уравнения Максвелла в комплексной форме

Векторы (Q) и (Q) являются комплексными представлениями гармонически изменяющегося вектора N(Q,t). Используя свойства комплексных представлений, можно из уравнений Максвелла в пространственно-временной форме получить уравнение Максвелла в комплексной (пространственно-частотной) форме. Запишем эти уравнения для действующих значений векторов электромагнитного поля

(3)

Система уравнений (3) дополняется уравнениями материальной связи, которые в линеаризованном виде записываются следующим образом

. (4)

Теорема Умова-Пойнтинга в комплексной форме

Объемная плотность комплексной мощности, потребляемой материальной точкой в гармоническом ЭМП, равна

Комплексная мощность, потребляемая объемом V, равна

Используя соотношения (3) и (4), можно доказать, что

(5) - это уравнение баланса активных и реактивных мощностей для объема V. Уравнение (5) иначе называют теоремой Умова-Пойнтинга в комплексной форме. Левая часть уравнения (5), содержащая поверхностный интеграл, равна комплексной электромагнитной мощности, поглощаемой объемом V из окружающего пространства.

Иначе уравнение (5) можно записать так:

,

- комплексная мощность, излучаемая объемом V в окружающее пространство.

Комплексная форма теоремы Умова-Пойнтинга имеет важное практическое значение. Ее используют при расчете электромагнитных излучателей и направляющих систем в радиоэлектронной аппаратуре. Пользуясь уравнением (5), можно определить внутреннее активное и реактивное сопротивление проводника, если в результате анализа ЭМП известно поверхностное распределение комплексных действующих значений напряженностей электрического и магнитного поля.

Теорема о единственности

Пусть в некотором объёме V, ограниченном замкнутой поверхностью S, известно распределение параметров электрофизических свойств среды и распределение сторонних источников ЭМП. Пусть в этом объеме установился синусоидальный режим ЭМП, в создании которого могли участвовать источники поля, расположенные вне объема V. Пусть, кроме того, известны комплексные значения тангенциальных составляющих вектора или на граничной поверхности S. Тогда объёмное распределение векторов и , удовлетворяющее уравнениям Максвелла и граничным условиям, является единственным решением задачи анализа ЭМП.

Доказательство:

Допустим, что существует два различных решения (,) и (,), удовлетворяющих уравнениям Максвелла и граничным условиям. Ввиду линейности уравнений поля разность этих решений =-и =-также удовлетворяет уравнениям Максвелла при следующих дополнительных условиях:

а) = 0 и = 0;

б) во всех точках поверхности S или = 0 или = 0 т.к. по предположению =. К разностному полю (,) применим теорему Умова-Пойнтинга

(6)

Поверхностный интеграл в левой части равен нулю в соответствии с условием (б), значит соотношение (6) может выполняться только при = 0 и = 0 во всех точках объема V, из этого следует, что оба решения (,) и (,) тождественны.

Контрольные вопросы

1. Что называется гармоническим электромагнитным полем?

2. Что называют линейно и эллиптически поляризованным вектором?

3. Что называют комплексным амплитудным и комплексным действующим значением гармонически изменяющегося вектора?

4. Как связано мгновенное значение вектора с комплексным амплитудным и комплексным действующим?

5. Какой вид имеют уравнения Максвелла в комплексной форме?

6. Как записываются уравнения материальной связи в комплексной форме?

7. Чему равна объемная плотность комплексной мощности, потребляемой материальной точкой в гармоническом ЭМП?

8. Чему равна комплексная мощность, поглощаемая некоторым объёмом из окружающего пространства?

9. Как записывается уравнение баланса комплексных электромагнитных мощностей для некоторого объёма?

10. Как, пользуясь теоремой Умова-Пойнтинга, можно определить внутреннее активное и реактивное сопротивление проводника?

11. Как формулируется теорема о единственности гармонического электромагнитного поля?

12. Как доказывается теорема о единственности гармонического электромагнитного поля с помощью теоремы Умова-Пойнтинга?

§ 5.2. Уравнения математической физики относительно потенциалов гармонического электромагнитного поля

Комплексные параметры электрофизических свойств среды

Изменение электрической поляризованности или намагниченности вещества по гармоническому (в общем случае по периодическому) закону обычно сопровождается тепловыми потерями энергии. В этом случае составляющие вектора электрического смещения отстают по фазе от соответствующих составляющих вектора напряжённости электрического поля. При периодическом перемагничивании ферромагнетиков составляющие вектора магнитной индукции отстают по фазе от соответствующих составляющих вектора напряжённости магнитного поля. Указанные сдвиги фаз между парами векторов и , и можно учесть путем введения комплексных параметров электрофизических свойств среды в уравнения материальной связи

,

где ,

.

Аргументы комплексной магнитной и диэлектрической проницаемости и называются углами магнитных и диэлектрических потерь. В справочной литературе для различных электротехнических материалов даются значения тангенсов угла этих потерь

,

.

При постановке и решении задач анализа гармонических ЭМП возможно объединение токов проводимости и токов смещения

,

где - индуцированная плотность тока.

С учетом введённого обозначения закон полного тока можно записать в виде

где - комплексная удельная проводимость вещества на данной частоте .

Во многих случаях вместо индуцированной плотности тока в расчеты вводят эффективный вектор электрического смещения

Последнее соотношение для краткости записывают как , т.е. немного изменяют систему обозначений векторов гармонического ЭМП. В дальнейшем уравнения математической физики для гармонического ЭМП будем записывать с учетом последнего обозначения.

Системы электродинамических потенциалов и уравнения математической физики для гармонического электромагнитного поля

Для вектора магнитной индукции всегда выполняется условие , поэтому

,

где - комплексный векторный магнитный потенциал.

, поэтому

где - комплексный скалярный электрический потенциал,

и - система электродинамических потенциалов.

Во многих случаях корректное задание поля вектора в качестве объёмно распределенного источника ЭМП вызывает значительные затруднения при постановке задачи анализа поля. В этих случаях вместо задают векторное поле

, которое называют полем сторонней плотности магнитного тока. С учётом этого обозначения закон электромагнитной индукции можно записать в виде:

Теперь можно получить систему уравнений математической физики относительно потенциалов. За основу можно взять закон полного тока

; ;

;

(1)

(1) - комплексная форма системы уравнений математической физики относительно векторного магнитного и скалярного электрического потенциалов. Нетрудно заметить, что уравнения в системе (1) линейно зависимые (второе можно получить из первого взятием дивергенции от обеих частей и делением их на jω). Поэтому для обеспечения единственности решения системы уравнений (1), кроме граничных условий, нужно вводить условие калибровки электродинамических потенциалов.

Рассмотрим систему (1) для случая однородной по электрофизическим свойствам среды внутри расчетной области. Тогда скалярные поля параметров и можно вынести за знак дифференциальных операторов и умножить обе части первого уравнения на .

(2)

Если к системе (2) применить условие калибровки Лоренца

,

то из (2) можно получить два независимых уравнения:

, (3)

, (4)

где - фазовая скорость электромагнитной волны.

Уравнение (3) называется векторным уравнением Даламбера, уравнение (4) - скалярным уравнением Даламбера. Если источники ЭМП отсутствуют в расчетной области, то правая часть этих уравнений равна нулю:

, (5)

, (6)

где - пространственная частота ЭМП.

Уравнения (5) и (6) называют векторным и скалярным волновыми уравнениями. Они широко применяются на практике для расчета разнообразных электротехнических и радиотехнических устройств, входящих в состав различного радиоэлектронного оборудования и приборов.

Излучатель Герца

Условно можно считать, что этот излучатель представляет собой малый отрезок провода, по которому течет гармонически изменяющийся ток. При расчетах такой излучатель можно считать материальной точкой с гармонически изменяющимся электрическим дипольным моментом. Аналитические выражения для распределения электродинамических потенциалов вокруг этого излучателя являются фундаментальными решениями уравнений (5) и (6)

,

.

Элементарный магнитный излучатель

Условно можно считать, что этот излучатель представляет собой контур с гармонически изменяющимся током. При расчетах такой излучатель можно считать материальной точкой с гармонически изменяющимся магнитным дипольным моментом . Аналитическое выражение для распределения векторного магнитного потенциала вокруг этого излучателя является фундаментальным решением уравнения (5):

Контрольные вопросы

1. Какие явления в гармоническом электромагнитном поле описывают комплексные параметры электрофизических свойств среды?

2. Что такое угол магнитных и диэлектрических потерь? Что называют тангенсом этих углов?

3. Что такое индуцированная плотность тока и комплексная удельная проводимость вещества?

4. Что такое эффективное электрическое смещение и комплексная абсолютная диэлектрическая проницаемость вещества?

5. Что такое векторный магнитный и скалярный электрический потенциал гармонического электромагнитного поля?

6. Что такое сторонняя плотность магнитного тока?

7. Как выражаются комплексные векторы электромагнитного поля через электродинамические потенциалы?

8. Как записывается комплексная форма системы уравнений математической физики относительно векторного магнитного и скалярного электрического потенциалов для неоднородной среды без условий калибровки?

9. Как записывается комплексная форма системы уравнений математической физики относительно векторного магнитного и скалярного электрического потенциалов для однородной среды без условий калибровки?

10. Как записывается комплексная форма системы уравнений математической физики относительно векторного магнитного и скалярного электрического потенциалов для однородной среды с условием калибровки Лоренца?

11. Как записываются векторное и скалярное уравнения Даламбера?

12. Как записываются векторное и скалярное волновые уравнения?

13. По каким формулам рассчитывается распределение векторного магнитного и скалярного электрического потенциала вокруг элементарного электрического излучателя?

14. По какой формуле рассчитывается распределение векторного магнитного потенциала вокруг элементарного магнитного излучателя?

§ 5.3. Частные приложения теории гармонического
электромагнитного поля

Понятие о поверхностном эффекте и эффекте близости

Пусть электромагнитная волна проникает вглубь проводника через его граничную поверхность из окружающего диэлектрика. Тогда по мере проникновения волны в проводник часть ее энергии постепенно рассеивается в виде тепла. Вследствие этого амплитуды всех векторов ЭМП уменьшаются при проникновении вглубь проводника. Этот эффект убывания амплитуд векторов поля от поверхности проводника вглубь по направлению движения волны называется поверхностным эффектом, или скин-эффектом.

При поверхностном эффекте распределение индуцированной плотности тока носит преимущественно поверхностный характер в проводнике. Близость других проводящих тел также влияет на распределение плотности тока в проводнике. Это явление называется эффектом близости.

Плоская волна в однородном проводнике

Рассмотрим электропроводящее полупространство , на которое из диэлектрического полупространства z<0 набегает плоская гармоническая электромагнитная волна (рис. 1).

Рис. 1.

Уравнения ЭМП внутри проводника без учета токов смещения имеют вид:

; (1)

= const; = const

Из (1) следует, что

; (2)

Из (1) можно получить независимые уравнения математической физики отноcительно и .

; ;

Учитывая (2), получаем:

; ,

отсюда

; (3)

Если обозначить , то решение уравнений (3) можно записать в виде:

; ;

; ;

; .

Можно доказать, что

.

Волновое сопротивление проводящей среды имеет индуктивный характер. Величину называют глубиной проникновения ЭМП вглубь проводника. На этой глубине векторы и затухают по амплитуде или по действующему значению в e раз.

Поверхностный эффект в проводящей пластине

Рис. 2.

Пусть внешний источник ЭМП создает в пластине магнитный поток на единицу длины (рис. 2), тогда вектор во всех точках x будет иметь одну составляющую .

Будем считать, что , тогда в соответствии с уравнением (3)

; ;

;

Во многих технических приложениях величину
называют эффективной абсолютной магнитной проницаемостью пластины или пакета пластин.

- это тангенс угла магнитных потерь энергии в магнитопроводе, изготовленном в виде пакета пластин.

Применяя теорему Умова-Пойнтинга, можно доказать, что средняя объемная плотность мощности потерь энергии на вихревые токи при перемагничивании такого пакета равна

или

В более общем виде:

Это комплексная мощность, потребляемая единицей длины листа (в направлении оси y) шириной h (в направлении оси x), толщиной 2a.

Вычислительный сценарий расчёта поверхностного эффекта в плоской пластине

Ниже приведён текст вычислительного сценария расчёта поверхностного эффекта.

% PLASTINA - Расчёт гармонического электромагнитного полq в плоской проводqщей пластине

%

% Входные данные: mu - проницаемость; f - частота; gam - уд.проводимость;

% a - половина толщины пластины; h - ширина пластины;

% Fm - амплитуда магнитного потока.

if exist('mu','var'), smu=num2str(mu); else smu='100'; end

if exist('f','var'), sf=num2str(f); else sf='50'; end

if exist('gam','var'), sgam=num2str(gam); else sgam='1E7'; end

if exist('a','var'), sa=num2str(a); else sa='5E-4'; end

if exist('h','var'), sh=num2str(h); else sh='5E-2'; end

if exist('Fm','var'), sFm=num2str(Fm); else sFm='5E-6'; end

SS=inputdlg({'mu','f','gam','a','h','Fm'},...

'Ввод исходных данных',1,{smu,sf,sgam,sa,sh,sFm});

%[mu,f,gam,a,h,Fm]=eval(SS);

mu=eval(SS{1}); f=eval(SS{2}); gam=eval(SS{3}); a=eval(SS{4}); h=eval(SS{5}); Fm=eval(SS{6});

disp(['mu=',num2str(mu),'; f=',num2str(f),'; gam=',num2str(gam),'; a=',num2str(a),'; h=',num2str(h),'; Fm=',num2str(Fm)])

mu0=4e-7*pi;

om=2*pi*f;

p=sqrt(j*om*gam*mu0*mu);

muef=mu*tanh(p*a)/p/a % Эффективная комплексная магнитная проницаемость

tandm=-imag(muef)/real(muef) % Эффективный тангенс угла магнитных потерь

Bmsr=Fm/2/a/h % Среднее значение магнитной индукции по сечению пластины

Bmya=Bmsr*p*a/tanh(p*a) % Комплексная магнитная индукция на поверхности

Bmy0=Bmya/cosh(p*a) % То же в середине пластины

b=real(p);

dPv_dy=om*b*abs(Fm)^2/4/mu0/mu/h*(sinh(b*2*a)-sin(b*2*a))/(cosh(b*2*a)-cos(b*2*a))

% Здесь активная мощность тепловых потерь на единицу длины пластины

Поверхностный эффект в круглом проводе

Пусть по прямолинейному проводу круглого сечения радиуса а протекает комплексный ток (рис. 3).

Рис. 1.

(3)

(4)

(5)

Если из (5) выразить и подставить в (4), то получим

(6)

Введем обозначение

Тогда уравнение (6) примет вид:

(7)

Если обе части уравнения (4) продифференцировать по r и подставить туда (5), то в соответствии с введенным обозначением получим:

(8)

Уравнения (7), (8) являются частными случаями уравнения Бесселя

,

частные решения, которого y= Jn(x) называются функциями Бесселя n - го порядка. Для вычисления эти функции могут быть записаны в виде:

При является возрастающей функцией. Это означает, что действующее значение напряженности электрического поля и плотности тока убывает от поверхности провода к его оси. В этом и сказывается поверхностный эффект в круглом проводе. Поверхностный эффект приводит к тому, что с ростом частоты тока возрастает активное сопротивление провода на единицу длины и уменьшается внутренняя индуктивность провода на единицу длины.

Комплексное сопротивление провода на единицу длины равно:

Расчёт цилиндрического электромагнитного экрана с использованием PDE Toolbox MATLAB

Переменное гармоническое электромагнитное поле в системе с цилиндрическим электромагнитным экраном описывается эллиптическим PDE в комплексной форме:

, (7)

где - комплексное действующее значение z- составляющей напряжённости электрического поля; c = ()-0.5 = 2.9979*108 м/с - скорость света в вакууме; Zв = (/)0.5 = 376,7 Ом - волновое сопротивление вакуума; - удельная электрическая проводимость вещества. Краевая задача, основанная на уравнении (7), является стандартной для GUI-приложения PDETool, поэтому написание своего сценария не требуется.

Для запуска PDETool и прорисовки геометрии выполним следующую последовательность команд:
pdeinit
pderect([-8 8 -6 6],'R1')
pdecirc(0,0,4,'C1')
pdecirc(0,0,3,'C2')
pderect([-1.5 1.5 1 1.5],'R2')
pderect([-1.5 1.5 -1 -1.5],'R3')
Это означает, что расчётная область - прямоугольник (16x12)мм; экран с внутренним радиусом 3 мм и наружным радиусом 4 мм; области 'R2' и 'R3' - сечения измерительной обмотки, в которой наводится ЭДС электромагнитной индукции, подаваемая на электронный вольтметр. Пусть везде =1, =0, =1, частота =2*2*pi рад/мс, а в экране =5,6*104 См/мм (т.е. экран медный). Источником электромагнитного поля являются граничные условия Дирихле: на прямых y=±6мм E=±10мкВ/мм. На прямых x=±8мм заданы нулевые граничные условия Неймана.

Для вычисления ЭДС в измерительной обмотке экспортируем сетку и решение PDE в рабочую область MATLAB и выполним следующую последовательность команд:
ut=pdeintrp(p,t,u);
ar=pdetrg(p,t);
eds=ut(t(4,:)==4)*ar(t(4,:)==4).'/sum(ar(t(4,:)==4));
eds=eds-ut(t(4,:)==3)*ar(t(4,:)==3).'/sum(ar(t(4,:)==3))
eds =
1.8332 - 2.3397i
[abs(eds) angle(eds)*180/pi]
ans =
2.9723 -51.92
Приведённые числовые данные означают следующее: действующее значение синусной составляющей ЭДС равно 1.8332мкВ/(мм*виток), косинусной составляющей равно -2.3397мкВ/(мм*виток), действующее значение ЭДС (вольтметр покажет) 2.9723мкВ/(мм*виток), а её запаздывание по фазе относительно сторонней ЭДС на границе расчётной области составляет 51.92°.

На рис. 4 показано распределение действующего значения синусной составляющей напряжённости электрического поля (а заодно и линий синусной составляющей магнитной индукции). На рис. 5 - то же для косинусной составляющей. На рис. 6 - распределение действующего значения напряжённости электрического поля. Как видно, экранирующее действие основано на поверхностном эффекте.

Рис. 4. Распределение синусной составляющей напряжённости поля

Рис. 5. Распределение косинусной составляющей напряжённости поля

Рис. 6. Распределение действующего значения напряжённости поля

Теперь посчитаем ЭДС в обмотке при отсутствии экрана. Для этого в PDETool решим уравнение (7) при γ=0 везде и экспортируем решение в рабочую область MATLAB. Затем выполним последовательность команд:
ut=pdeintrp(p,t,u);
eds=ut(t(4,:)==4)*ar(t(4,:)==4).'/sum(ar(t(4,:)==4));
eds=eds-ut(t(4,:)==3)*ar(t(4,:)==3).'/sum(ar(t(4,:)==3))
eds =
4.1667
kekr=eds/(1.8332-2.3397i)
kekr =
0.86457 + 1.1034i
[abs(kekr) angle(kekr)*180/pi]
ans =
1.4018 51.921
Приведённые числовые данные означают, что "экспериментальная" эффективность экранирования равна 1.4018.

Теперь для интереса посчитаем эффективность экранирования стального экрана, у которого =120, =104 См/мм, магнитный гистерезис не учитываем.
ut=pdeintrp(p,t,u);
eds=ut(t(4,:)==4)*ar(t(4,:)==4).'/sum(ar(t(4,:)==4));
eds=eds-ut(t(4,:)==3)*ar(t(4,:)==3).'/sum(ar(t(4,:)==3))
eds =
2.4709e-006 -1.9731e-005i
[abs(eds) angle(eds)*180/pi]
ans =
1.9885e-005 -82.862
4.1667/abs(eds) % Это эффективность экранирования.
ans =
2.0953e+005

Ниже приведён текст m-файла вычислительной модели цилиндрического электромагнитного экрана. Этот файл стандартным образом загружается в GUI-приложение PDETool.

function pdemodel

[pde_fig,ax]=pdeinit;

pdetool('appl_cb',7);

set(ax,'DataAspectRatio',[1 1 1]);

set(ax,'PlotBoxAspectRatio',[9 6 1]);

set(ax,'XLim',[-9 9]);

set(ax,'YLim',[-6 6]);

set(ax,'XTickMode','auto');

set(ax,'YTickMode','auto');

pdetool('gridon','on');

 

% Geometry description:

pderect([-8 8 -6 6],'R1');

pdecirc(0,0,4,'C1');

pdecirc(0,0,3,'C2');

pderect([-1.5 1.5 1 1.5],'R2');

pderect([-1.5 1.5 -1 -1.5],'R3');

set(findobj(get(pde_fig,'Children'),'Tag','PDEEval'),'String','R1+C1+C2+R2+R3')

 

% Boundary conditions:

pdetool('changemode',0)

pdesetbd(5,...

'dir',...

1,...

'1',...

'-10')

pdesetbd(4,...

'neu',...

1,...

'0',...

'0')

pdesetbd(2,...

'dir',...

1,...

'1',...

'10')

pdesetbd(1,...

'neu',...

1,...

'0',...

'0')

 

% Mesh generation:

setuprop(pde_fig,'Hgrad',1.3);

setuprop(pde_fig,'refinemethod','regular');

pdetool('initmesh')

pdetool('refine')

pdetool('refine')

 

% PDE coefficients:

pdeseteq(1,...

'1./(1.0)!1./(1.0)!1./(1.0)!1./(1.0)!1./(120)',...

'sqrt(-1)*(2*2*pi/3E8).*(0.0)-(2*2*pi/3E8).*(2*2*pi/3E8).*(1.0)!sqrt(-1)*(2*2*pi/3E8).*(0.0)-(2*2*pi/3E8).*(2*2*pi/3E8).*(1.0)!sqrt(-1)*(2*2*pi/3E8).*(0.0)-(2*2*pi/3E8).*(2*2*pi/3E8).*(1.0)!sqrt(-1)*(2*2*pi/3E8).*(0.0)-(2*2*pi/3E8).*(2*2*pi/3E8).*(1.0)!sqrt(-1)*(2*2*pi/3E8).*(5.6E4*376.7)-(2*2*pi/3E8).*(2*2*pi/3E8).*(1.0)',...

'0.0!0.0!0.0!0.0!0.0',...

'1.0!1.0!1.0!1.0!1.0',...

'0:10',...

'0.0',...

'0.0',...

'[0 100]')

setuprop(pde_fig,'currparam',...

['2*2*pi/3E8!2*2*pi/3E8!2*2*pi/3E8!2*2*pi/3E8!2*2*pi/3E8';...

'1.0!1.0!1.0!1.0!120 ';...

'0.0!0.0!0.0!0.0!5.6E4*376.7 ';...

'1.0!1.0!1.0!1.0!1.0 '])

 

% Solve parameters:

setuprop(pde_fig,'solveparam',...

str2mat('0','12288','10','pdeadworst',...

'0.5','longest','0','1E-4','','fixed','Inf'))

 

% Plotflags and user data strings:

setuprop(pde_fig,'plotflags',[6 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1]);

setuprop(pde_fig,'colstring','abs(u)');

setuprop(pde_fig,'arrowstring','');

setuprop(pde_fig,'deformstring','');

setuprop(pde_fig,'heightstring','');

 

% Solve PDE:

pdetool('solve')

 

Контрольные вопросы и задания

1. Что такое поверхностный эффект и эффект близости?

2. Какими уравнениями описывается поверхностный эффект в однородном проводнике (в проводящем полупространстве)?

3. По каким формулам рассчитывается распределение комплексной напряжённости электрического и магнитного поля в проводящем полупространстве?

4. Что такое глубина проникновения электромагнитного поля, а также волновое сопротивление и как они связаны с электрофизическими свойствами проводника?

5. По каким формулам рассчитывается распределение напряжённости магнитного поля и магнитной индукции при поверхностном эффекте в проводящей пластине.

6. Что такое комплексная абсолютная эффективная магнитная проницаемость пластины и пакета пластин, а также эффективный тангенс угла магнитных потерь?

7. По какой формуле рассчитывается средняя объёмная плотность мощности тепловых потерь в пластине, а также комплексная мощность, потребляемая единицей длины пластины?

8. Какими уравнениями описывается поверхностный эффект в круглом проводе?

9. По каким формулам рассчитывается распределение комплексной напряжённости электрического и магнитного поля, а также плотности тока в круглом проводе?

10. По какой формуле можно рассчитать комплексное сопротивление круглого провода на единицу длины?

11. Составьте вычислительный сценарий MATLAB для расчёта распределения векторов электромагнитного поля в сечении цилиндрического проводника, если задан ток, радиус, удельная электрическая проводимость и частота.

12. Составьте вычислительный сценарий MATLAB для расчёта функциональной зависимости комплексного сопротивления проводника от частоты, если заданы радиус и удельная электрическая проводимость.

 

Поиск по сайту:

Система Orphus

Яндекс.Метрика