MATLAB.Exponenta
MATLAB и Simulink на русском
Технологии разработки и отладки
		сложных технических систем

Математика\Partial Differential Equations (PDE) Toolbox

Шмелев В.Е., Сбитнев С.А.

"ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ"

"ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ"

Глава 3. Электрическое поле постоянного поля

§ 3.1. Законы электрического поля в проводящей среде

Электрическое поле в проводящей среде характеризуется пространственным распределением вектора напряженности электрического поля и вектора плотности тока.

Уравнения электрического поля в дифференциальной форме имеют вид:

- второй закон Кирхгофа в дифференциальной форме. (1)
- первый закон Кирхгофа в дифференциальной форме. (2)
- закон Ома в дифференциальной форме. (3)

При составлении математических моделей электрического поля в проводящей среде источником векторного поля E можно считать пространственное распределение вектора сторонней напряженности электрического поля Eс (объемно-распределенные источники ЭДС); источником векторного поля плотности тока проводимости можно считать пространственное распределение вектора сторонней плотности тока (объёмно-распредёленные источники тока).

Контрольные вопросы

1. Как записывается второй закон Кирхгофа в дифференциальной форме?

2. Как записывается первый закон Кирхгофа в дифференциальной форме?

3. Какие векторные поля являются источниками постоянного электрического поля в проводящей среде?

§ 3.2. Граничные условия для векторов электрического поля постоянного тока

На поверхности раздела сред, где , Eс или изменяются скачком, справедливы следующие соотношения:

E1t - E2t = E1сt - E2сt

т.е. скачок тангенциальной составляющей вектора напряженности электрического поля равен скачку сторонней тангенциальной составляющей вектора напряженности электрического поля. Если Eс = 0, то тангенциальная составляющая векторного поля E непрерывна на любой поверхности раздела сред.

т.е. скачок нормальной составляющей плотности тока проводимости равен скачку нормальной составляющей сторонней плотности тока с противоположным знаком. Если = 0, то нормальная составляющая плотности тока проводимости непрерывна на любой поверхности раздела сред.

Контрольные вопросы

1. Каким уравнением описывается граничное условие для вектора напряжённости электрического поля на поверхностях раздела сред?

2. Каким уравнением описывается граничное условие для вектора плотности тока проводимости на поверхностях раздела сред?

§ 3.3. Аналогия между электрическим полем постоянного тока в проводнике и электростатическим полем в диэлектрике

Рассмотрим краевую задачу анализа электрического поля в проводящей среде. В соответствии с уравнением (1) можно записать

(4)

Подставив (4) в (3), а затем (3) в (2), получим:

(5)

Сравнив уравнение (5) с уравнением электростатики, можно установить аналогию между электрическим полем постоянных токов в проводнике и электрическим полем в диэлектрике.

Для сравнения запишем уравнения, описывающие эти поля, и сведем их в таблицу.

Электростатическое поле

Электрическое поле
в проводящей среде

rot E = 0

rot (E - Eс) = 0

D

Pr

Из этой таблицы видно, что аналогом вектора плотности тока проводимости является вектор электрического смещения D, аналогом удельной проводимости - абсолютная диэлектрическая проницаемость, аналогом тока I - поток вектора электрического смещения; аналогом заряда в электростатическом поле являются стоки сторонних электрических токов.

Прикладные режимы моделирования постоянного электрического поля имеются как в PDE Toolbox MATLAB, так и в FEMLAB. В этих прикладных режимах в качестве первичных источников предусмотрены только стоки сторонних источников тока, а также плотность тока, закачиваемого в анализируемую систему извне. В системе FEMLAB все возможные первичные источники можно вводить в "уравнение-основанных" прикладных режимах.

Контрольные вопросы

1. Какой вид имеет уравнение математической физики относительно скалярного магнитного потенциала?

2. На каких соответствиях уравнений и физических величин базируется аналогия между электростатическим полем в диэлектрике и стационарным электрическим полем в проводнике?

§ 3.4. Электрическое поле в диэлектрике вблизи
проводника с током

В диэлектрике, окружающем проводник с током, электрическое поле имеет такой же потенциальный характер, как и электростатическое поле. Электрическое поле вне проводника с током описывается уравнением Лапласа или Пуассона так же как и электростатическое поле. Отличие заключается в том, что поверхность проводника с током не является эквипотенциальной, т.е. тангенциальная составляющая напряженности электрического поля на поверхности проводника не равна нулю. Однако в подавляющем большинстве инженерных расчетов тангенциальная составляющая оказывается на много порядков меньше нормальной составляющей напряженности электрического поля, поэтому тангенциальной составляющей можно пренебречь. Таким образом, граничные условия в диэлектрике на поверхности проводников оказываются практически тождественными граничным условиям в электростатике. Из этого следует, что при анализе электрического поля в диэлектрике вблизи проводника с током можно использовать решения соответствующих электростатических задач.

Контрольные вопросы

1. Чем отличается электрическое поле в диэлектрике вблизи проводника с током от электростатического поля?

2. Почему при анализе электрического поля в диэлектрике вблизи проводника с током можно использовать решения соответствующих электростатических задач?

§ 3.5. Электрическое поле в несовершенных
изолирующих средах

Диэлектриком называют вещество, основным электрическим свойством которого является способность поляризоваться в электрическом поле и в котором возможно длительное существование электростатического поля, т.е. электропроводностью можно пренебречь. Проводники обладают настолько большой электропроводностью, что при анализе электрического поля в них поляризационными эффектами можно пренебречь. Если электропроводность вещества мала, но ей нельзя пренебречь и нельзя пренебречь поляризационными эффектами, то такие вещества называют несовершенными диэлектриками или несовершенными изолирующими средами.

В установившемся режиме электрическое поле в несовершенном диэлектрике определяется пространственным распределением удельной электрической проводимости и источников поля; диэлектрические свойства никак не влияют на распределение скалярного электрического потенциала. На распределение свободных зарядов и поляризованности вещества оказывают влияние и электропроводящие и диэлектрические свойства вещества.

Контрольные вопросы

1. В чём заключается основная электрофизическая особенность вещества, близкого по свойствам к идеальному диэлектрику?

2. В чём заключается основная электрофизическая особенность вещества, близкого по свойствам к идеальному проводнику?

3. Что такое несовершенный диэлектрик?

4. В чём заключаются особенности электрического поля в несовершенных изолирующих средах?

§ 3.6. Электрическое моделирование физических полей

Методы моделирования физических полей, основанные на аналогии уравнений, описывающих процессы в оригинале и модели, называются аналоговыми методами моделирования. Аналоговое моделирование связано с применением различных моделирующих устройств. Наибольшее распространение получили модели, основанные на аналогии исследуемых физических полей и электрического поля в проводящей среде. Методы, основанные на такой аналогии, называются электрическим моделированием. Эти методы можно разделить на две большие группы:

1) методы сплошных сред;

2) методы электрических сеток.

К методам сплошных сред можно отнести следующие: использование проводящей бумаги - для моделирования плоскопараллельных и осесимметричных полей в кусочно-однородных средах, описываемых уравнениями Лапласа, диффузии или волновым; использование металлических, графитовых, проводящих керамических и пластмассовых пластин, а также проводящей резины и ткани - для тех же задач; использование жидких электролитов, а также влажных дисперсных масс и желеобразных коллоидных материалов - для моделирования трехмерных полей в неоднородных случаях. Для моделирования физических полей, описываемых уравнениями с ненулевой правой частью, могут быть применены токовводы.

В качестве моделирующих электрических сеток используют LC, LR, RC и резистивные сетки. Правая часть в уравнениях математической физики моделируется включением источников тока в узлы сетки.

Контрольные вопросы

1. Что называют аналоговым моделированием физических полей? Что такое электрическое моделирование?

2. На применении каких материалов базируются методы сплошных сред? Как в этих методах учитывается ненулевая правая часть уравнений?

3. Какие моделирующие сетки используются при электрическом моделировании физических полей?

 

Поиск по сайту:

Система Orphus

Яндекс.Метрика