MATLAB.Exponenta
MATLAB и Simulink на русском
Технологии разработки и отладки
		сложных технических систем

Математика\Partial Differential Equations (PDE) Toolbox

Шмелев В.Е., Сбитнев С.А.

"ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ"

"ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ"

Глава 2. Электростатическое поле

§ 2.1. Основные уравнения электростатики

Электростатическим называют постоянное поле неподвижных электрических зарядов. Источниками электростатического поля являются свободные электрические заряды и электрические диполи. В электростатическом поле отсутствует сторонняя составляющая напряженности электрического поля Ec.

В соответствии со сказанным уравнения электростатики в интегральной форме имеют вид

Уравнения электростатики в дифференциальной форме

(1)

В случае линейных изотропных диэлектрических свойств среды уравнение материальной связи между векторами E и D имеет вид:

(2)

Граничные условия для векторов электростатического поля

На поверхности раздела сред, где или Pr изменяются скачком, справедливы следующие соотношения

На поверхности проводящего тела

Тангенциальная составляющая вектора напряженности электрического поля непрерывна на любой поверхности раздела сред.

Скачок нормальной составляющей вектора электрического смещения равен поверхностной плотности электрических зарядов.

Скалярный электрический потенциал.
Краевая задача анализа электростатического поля

Поле вектора E является безвихревым, поэтому его можно представить в виде градиента некоторого скалярного поля

(3)

- скалярный электрический потенциал.

Подставив соотношение (3) в (2), а затем (2) в (1), получим

или

(4)

Уравнение (4) является уравнением электростатики относительно скалярного электрического потенциала. Это уравнение является основой для постановки краевой задачи анализа электростатического поля.

Для обеспечения единственности решения уравнения (4) необходимо дополнить его граничными условиями для искомого потенциала или для нормальной составляющей вектора электрического смещения на поверхности, ограничивающей расчетную область, т.е.

* = поверхностное распределение - на части граничной поверхности Г1,

Dn = поверхностное распределение - на части граничной поверхности Г2,

Г = Г1 + Г2 - замкнутая граничная поверхность.

Первое граничное условие называется граничным условием первого рода (иногда его называют граничным условием Дирихле). Второе граничное условие называется граничным условием второго рода (иногда его называют граничным условием Неймана).

Если задавать только граничные условия Неймана, то единственность решения будет обеспечена только с точностью до постоянной (однородной) составляющей скалярного поля .

В случае однородного распределения диэлектрической проницаемости среды и вектора остаточной поляризованности среды уравнение (4) может быть записано в виде

или (5)

Если в расчетной области свободные заряды отсутствуют, то

или (6)

(5) называется уравнением Пуассона, (6) называется уравнением Лапласа. Для уравнений (5) и (6) граничное условие Неймана может задаваться в виде распределения нормальной производной скалярного электрического потенциала на части граничной поверхности Г2.

Скалярная краевая задача электростатики в пакетах расширения MATLAB

В системе MATLAB имеются пакеты расширения, предназначенные для решения скалярных краевых задач, основанных на уравнениях вида (4). В практике инженерных расчётов чаще всего решаются двумерные и трёхмерные задачи электростатики. При двумерном моделировании можно рассчитывать плоскопараллельные и осесимметричные поля (поля многопроводных систем: кабельных и воздушных линий и коридоров линий). Двумерный вариант уравнения (4) без учёта векторного поля остаточной поляризованности вещества может решаться средствами PDE Toolbox MATLAB (продукт фирмы MathWorks).

Электростатические задачи могут решаться также в системе конечноэлементных расчётов FEMLAB, которая также представляет собой пакет расширения MATLAB, но не входит в стандартную комплектацию MATLAB и поставляется отдельно. Разработчик этого пакета - шведская фирма Comsol.

Применительно к задачам электростатики FEMLAB отличается от PDE Toolbox тем, что в FEMLAB есть возможность учесть распределение вектора остаточной поляризованности вещества, есть также возможность решать трёхмерные задачи. В системе FEMLAB есть средства расчёта интегральных параметров поля: зарядов, напряжений, энергии поля, ёмкостных коэффициентов и др.

Энергия системы заряженных проводников

Энергия электростатического поля системы заряженных проводников равна

, т.к. с ростом радиуса замкнутой поверхности произведение убывает быстрее, чем растет площадь поверхности (в наихудшем случае произведение является бесконечно малой величиной третьего порядка, а площадь поверхности интегрирования - бесконечно большой величиной второго порядка).

(7)

- потенциал i-го - проводника, qi - заряд i -го - проводника.

Формула (7) справедлива, если . В противном случае формула (7) справедлива, если (сумма зарядов всех тел системы равна нулю).

Понятие о методе изображений

При анализе электростатических полей обычно требуется определить распределение векторов E, D а также распределение скалярного электрического потенциала, если известны форма и расположение проводников и диэлектриков и неоднородные граничные условия:

а) потенциалы проводников;

б) суммарный заряд каждого проводника, потенциал которого неизвестен.

Решение, удовлетворяющее уравнению (4) и вышеназванным граничным условиям, является единственным.

Из этой теоремы, которую называют теоремой единственности, вытекают два важных следствия.

Следствие 1. Электрическое поле (и соответствующее ему решение) в некотором объеме, ограниченном равнопотенциальными поверхностями, не изменится, если эти поверхности станут проводящими, т.е. превратятся в границы проводников, которым сообщены соответствующие потенциалы.

Следствие 2. Электростатическое поле по одну сторону от поверхности S (не обязательно равнопотенциальной) не изменяется, если по другую сторону этой поверхности изменить параметры среды и распределение зарядов так, чтобы сохранились граничные условия на поверхности S.

Вновь распределенные заряды называются изображениями преобразованных зарядов, а основанный на таком преобразовании метод расчета - методом изображений.

Оба следствия из теоремы о единственности позволяют значительно расширить область применения интегральных форм уравнений электростатики для расчета полей.

Фундаментальное решение уравнений Пуассона и Лапласа

Фундаментальным решением этих уравнений является частное решение, соответствующее распределению скалярного электрического потенциала в бесконечной линейной однородной среде вокруг точечного электрического заряда при открытых граничных условиях :

,

где R - расстояние между точечным зарядом и точкой наблюдения. Если в расчетной области известно распределение объемных и поверхностных зарядов, а также вектора диэлектрической поляризованности вещества, то распределение скалярного электрического потенциала может быть определено по формуле

(8)

Как правило, при анализе сложных электростатических полей распределение зарядов и поляризованности вещества неизвестно, поэтому прямое применение формулы (8) невозможно. В этом случае формула (8) используется в качестве основы для построения интегральных методов анализа электростатических полей.

Контрольные вопросы

1. Что такое электростатическое поле?

2. Какой вид имеют уравнения электростатики в интегральной и дифференциальной форме?

3. Какими выражениями описываются граничные условия для векторов электростатического поля на поверхностях раздела сред?

4. Какой вид имеет уравнение электростатики относительно скалярного электрического потенциала?

5. Как формулируется краевая задача анализа электростатического поля?

6. Чему равна энергия системы заряженных проводников?

7. Как формулируются следствия из теоремы о единственности решения краевой задачи электростатики относительно скалярного электрического потенциала?

8. Что является фундаментальным решением уравнений Пуассона и Лапласа для электростатического поля?

9. На каком соотношении основываются интегральные методы анализа электростатических полей?

§ 2.2. Электростатические поля простых
геометрических форм

Поле электрического диполя

Рис. 1.

Если источником электростатического поля является точечный диполь с электрическим дипольным моментом (рис. 1)

Pэ = qh, то h <<R1, h<<R2,

В результате получим

(9)

Зная распределение скалярного электрического потенциала, можно определить распределение вектора напряженности электрического поля

В выражении (9) от положения точки Q зависят R и R , поэтому для определения градиента выражения (9) можно применить правила дифференцирования из векторного анализа

Окончательно получим

или в сферической системе координат

.

Можно доказать, что уравнение линий напряженности электрического поля (силовых линий) имеет вид

(10)

где А - параметр семейства линий; уравнение эквипотенциальных линий

(11)

где В - параметр семейства линий потенциала.

Чтобы провести через некоторую точку линию напряженности или равнопотенциальную кривую следует подставить в (10) или (11) координаты этой точки и вычислить значение параметра А или В, соответствующее искомой кривой. Затем, задаваясь различными значениями , находят значение R искомых точек линии.

Если построить несколько произвольных равнопотенциальных поверхностей и рассечь их различными меридианными плоскостями, то в каждой такой плоскости получится одна и та же картина линий равного потенциала. Такое поле называют плоскомеридианным. В современной литературе такие поля называют "осесимметричными".

Расчёт и визуализация поля электрического диполя в системе
MATLAB

Ниже представлен текст вычислительного сценария MATLAB, предназначенного для расчёта названного поля.

% el_dipol - Расчёт о визуализация поля электрического диполя

% Электрический дипольный момент направлен вдоль оси y

% Рассчитывается распределение скалярного электрического потенциала

% и компонентов вектора напряжённости электрического поля

P=1; % y-компонента электрического дипольного момента, пКл*м

eps0=8.854; % Абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума, пФ/м

[x,y]=meshgrid(0.1:0.01:0.5,0.1:0.01:0.5);

fi=P*y./(4*pi*eps0*(x.^2+y.^2).^1.5);

Ex=3*P*y.*x./(4*pi*eps0*(x.^2+y.^2).^2.5);

Ey=P*(3*y.^2./(x.^2+y.^2)+1)./(x.^2+y.^2).^1.5/(4*pi*eps0);

E=sqrt(Ex.^2+Ey.^2);

figure(1)

contour(x,y,fi,19)

grid on

figure(2)

contour(x,y,Ex,29)

grid on

figure(3)

contour(x,y,Ey,29)

grid on

figure(4)

contour(x,y,E,29)

grid on

Ниже показано содержимое фигур MATLAB с изолиниями потенциала и компонентов вектора напряжённости электрического поля.

Поле бесконечно длинной заряженной оси

Пусть имеется бесконечно длинная заряженная ось, имеющая заряд на единицу длины (рис. 2).

Рис. 2.

Охватим эту ось цилиндрической поверхностью, ось которой совпадает с заряженной осью. На этой поверхности вектор электрического смещения имеет только нормальную составляющую Dn, причем Dn = const. В соответствии с теоремой Гаусса в интегральной форме

откуда

Во многих практических случаях электрическое поле можно представить в виде линейной комбинации полей нескольких заряженных осей или нескольких пар разноименно заряженных осей. Поэтому целесообразно рассмотреть поле одной такой пары.

Контрольные вопросы

1. Какими соотношениями описывается поле электрического диполя?

2. Какие поля называются плоскомеридианными (осесимметричными)?

3. Какими соотношениями описывается поле бесконечно длинной заряженной оси?

§ 2.3. Электростатические поля простых
двухпроводных линий

Поле двух разноименно заряженных осей

Пусть в однородном диэлектрике находятся две параллельные бесконечно длинные оси, равномерно и разноименно заряженные с линейной плотностью заряда + и - (рис. 3). Изобразим на рисунке следы этих осей в плоскости поперечного сечения

Рис. 3.

Если принять , т.е. на оси симметрии. то А =0. Теперь определим уравнение эквипотенциальных поверхностей. На этих поверхностях r2/r1=k = const. Здесь k - параметр семейства эквипотенциальных линий в плоскости рисунка.

Выразим r2 и r1 в декартовых координатах и выведем уравнение эквипотенциали в канонической форме относительно координат х и у

r2 = ((x + a) 2 + y 2)0,5; r1 = ((x - a) 2 + y 2)0,5

(x + a)2 + y2 = k 2 (x - a)2 + k 2y 2

(x + a)2 - k 2 (x - a)2 + y2(1 - k 2)= 0

x2(1 - k 2) + 2ax(1 + k 2) + a2(1 - k 2) + y2(1 - k 2) = 0

x2 + 2ax(1 + k 2)/(1 - k 2) + y2 + a2 = 0

(x + a(1 + k 2)/(1 - k 2))2 + y2 = (a(1 + k 2)/(1 - k 2))2 - a2 = (2ak/(1 - k 2))2

Здесь получено уравнение окружности в канонической форме:

(x - s)2 + y2 = R 2 (1)

где s = a(k 2+1)/(k 2- 1) - координата центра окружности.

R = a |2k/(1 - k 2)| - радиус окружности.

Мы получили выражения для координаты центра и для радиуса эквипотенциальной линии по задаваемому параметру k, где .

В соответствии с уравнением (1) линии равного потенциала представляют собой окружности, а поверхности равного потенциала - круговые цилиндры, геометрические оси которых смещены относительно электрических осей. Одна из этих поверхностей вырождается в плоскость с нулевым значением потенциала (при k = 1: ; ).

Линии напряженности представляют собой дуги окружности, начинающиеся на оси с положительным зарядом и кончающиеся на оси с отрицательным зарядом.

Если семейство равнопотенциальных поверхностей рассечь параллельными плоскостями, перпендикулярными заряженным осям, то в каждой плоскости получится одна и та же картина линий. Поля, обладающие таким свойством, называются плоскопараллельными (иначе их называют двумерными полями).

Установив картину поля и использовав следствие теоремы о единственности, можно считать решенными столько новых задач, сколько имеется различных по взаимному расположению пар равнопотенциальных поверхностей, которые можно рассматривать как поверхности проводников.

Рассмотрим важнейшие частные случаи таких задач.

Поле и емкость параллельных цилиндров
с несовпадающими осями

Случай 1. "Коаксиальный" кабель со смещенной жилой.

Рис. 4.

Дано: R1 - радиус жилы; R2 - радиус оболочки; d - смещение осей жилы и оболочки; - напряжение между жилой и оболочкой (рис.4). Определить: емкость кабеля на единицу длины и потенциалы проводников относительно средней плоскости между электрическими осями .

из пояснений к уравнению (1) следует, что

(s - a)(s + a) = R2

(s + a)/R = R/(s - a) = k, если k > 1 (2)

Значит

s2, s1, a вычисляются из решения системы уравнений

; т. е.

;

Алгоритм вычислений: сначала рассчитываются s2, s1, a , затем C0, потом .

Если нужно определить параметры эквипотенциали , то вычисляются величины ki, si, Ri, по формулам, дополняющим уравнение (1).

Пример расчёта электростатического поля и ёмкости "коаксиального" кабеля со смещённой жилой в ядре MATLAB и в PDE Toolbox дан на сайте по адресу http://matlab.exponenta.ru/forum/pde/book5/index.php.

Здесь приведём тексты вычислительных сценариев расчёта электростатического поля коаксиального кабеля без и со смещением жилы.

% vannak - Расчёт электростатического полq в коаксиальном кабеле

%

% Входные данные: epsilon - проницаемость;

% rob - радиус оболочки; rz - радиус жилы;

% U - напрqжение; nf - число шагов по потенциалу.

%

% Выходные данные: c0 - ёмкость на единицу длины;

% rk - радиусы эквипотенциалей.

%

% В обычной фигуре строитсq картина эквипотенциалей

%

eps0=8.85419e-3; % Абсолютнаq диэлектрическаq проницаемость вакуума, пФ/мм

if exist('epsilon','var'), sepsilon=num2str(epsilon); else sepsilon='1'; end

if exist('rob','var'), srob=num2str(rob); else srob='250'; end

if exist('rz','var'), srz=num2str(rz); else srz='20'; end

if exist('U','var'), sU=num2str(U); else sU='10'; end

if exist('nf','var'), snf=num2str(nf); else snf='10'; end

SS=inputdlg({'epsilon','rob (миллиметры)','rz (миллиметры)','U (вольты)','nf шагов по потенциалу'},...

'Ввод исходных данных',1,{sepsilon,srob,srz,sU,snf});

epsilon=eval(SS{1}); rob=eval(SS{2}); rz=eval(SS{3}); U=eval(SS{4}); nf=eval(SS{5});

disp(['epsilon=',num2str(epsilon),'; rob=',num2str(rob),'; rz=',num2str(rz),'; U=',num2str(U),'; nf=',num2str(nf)])

c0=2*pi*eps0*epsilon/log(rob/rz)

fk=linspace(0,U,nf+1);

rk=rob*(rob/rz).^(-fk/U)

t=0:0.004*pi:2*pi;

for k=1:nf+1

plot(rk(k)*cos(t),rk(k)*sin(t),'k-')

hold on

end

grid on

% vannaks - Расчёт электростатического полq в "коаксиальном" кабеле со смещённой жилой

%

% Входные данные: epsilon - проницаемость;

% rob - радиус оболочки; rz - радиус жилы;

% d - смещение оси жилы относительно оси оболочки;

% U - напрqжение;

% nf - число шагов по потенциалу.

%

% Выходные данные: c0 - ёмкость на единицу длины;

% rk - радиусы эквипотенциалей.

%

% В обычной фигуре строитсq картина эквипотенциалей

%

eps0=8.85419e-3; % Абсолютнаq диэлектрическаq проницаемость вакуума, пФ/мм

if exist('epsilon','var'), sepsilon=num2str(epsilon); else sepsilon='1'; end

if exist('rob','var'), srob=num2str(rob); else srob='250'; end

if exist('rz','var'), srz=num2str(rz); else srz='20'; end

if exist('d','var'), sd=num2str(d); else sd='40'; end

if exist('U','var'), sU=num2str(U); else sU='10'; end

if exist('nf','var'), snf=num2str(nf); else snf='10'; end

SS=inputdlg({'epsilon','rob (миллиметры)','rz (миллиметры)','d (миллиметры)','U (вольты)','nf шагов по потенциалу'},...

'Ввод исходных данных',1,{sepsilon,srob,srz,sd,sU,snf});

epsilon=eval(SS{1}); rob=eval(SS{2}); rz=eval(SS{3}); d=eval(SS{4}); U=eval(SS{5}); nf=eval(SS{6});

disp(['epsilon=',num2str(epsilon),'; rob=',num2str(rob),'; rz=',num2str(rz),'; d=',num2str(d),'; U=',num2str(U),'; nf=',num2str(nf)])

s1=(rob^2-rz^2-d^2)/2/d;

s2=(rob^2-rz^2+d^2)/2/d;

a=sqrt(s1^2-rz^2);

c0=2*pi*eps0*epsilon/log((s2-a)*(s1+a)/rob/rz)

tau=c0*U;

fz=tau*log((s1+a)/rz)/(2*pi*eps0*epsilon);

fob=tau*log(rob/(s2-a))/(2*pi*eps0*epsilon);

fk=linspace(0,U,nf+1);

hi=((s2-a)*(s1+a)/rob/rz).^((fob+fk)/U);

x=s2-a*(hi.^2+1)./(hi.^2-1)

rk=2*a*abs(hi./(1-hi.^2))

t=0:0.004*pi:2*pi;

for k=1:nf+1

plot(rk(k)*cos(t)+x(k),rk(k)*sin(t),'k-')

hold on

end

grid on

Случай 2. Двухпроводная линия с проводами разного радиуса.

Рис. 5.

Дано: R1 - радиус положительно заряженного провода; R2 - радиус отрицательно заряженного провода; - напряжение между проводами; d - смещение осей цилиндрических проводов (рис. 5).

Определить: емкость линии на единицу длины и потенциалы проводников относительно средней плоскости между электрическими осями . Так же как и в предыдущем случае

Для s1, а, R1, k1 справедливо соотношение (2), поскольку k> 1. Если k<1, то вместо (2) имеем

(s + a)/R = R/(s - a) = - k,

В это соотношение подставим s = - s2, R = R2, k = k2,

(s2 - a)/ R2 = R2/(s2 + a) = k2,

Значит,

s2, s1, a вычисляются из решения системы уравнений

; т. е.

;

Алгоритм вычислений тот же, что и в предыдущем случае.

В рассмотренных двух случаях результирующую напряженность электрического поля можно определить по формуле

.

Значения емкости на единицу длины C0, полученные при решении этих задач, могут быть использованы при анализе работы линии при переменных токах и напряжениях.

Известно, что при наличии переменного магнитного поля электрическое напряжение между двумя точками зависит от формы пути, соединяющего эти точки. Однако в длинных линиях переменного тока линии магнитной индукции практически лежат в плоскостях поперечного сечения; контур, лежащий в этой плоскости, не пронизывается переменным магнитным потоком, поэтому циркуляция вектора E вдоль такого контура равна нулю, т.е. электрическое поле имеет потенциальный характер. Это и дает возможность говорить об однозначном мгновенном значении напряжения между точками двух проводников, лежащими в одной и той же плоскости поперечного сечения, и постоянстве отношения мгновенных значений , справедливом для любого поперечного сечения.

Поле и емкость системы цилиндр - плоскость

Рис. 6.

Пусть заданы радиус R цилиндра, высота h над плоскостью (например, над поверхностью земли) и приложенное напряжение U (рис. 6). Положение электрических осей можно определить из уравнений

;

;

;

Потенциал плоскости , поэтому .

Линейная плотность заряда

;

Емкость на единицу длины

Если h >>R, т.е. тонкий провод подвешен высоко над поверхностью земли, то (s+ a) 2h;

Поле и ёмкость двухпроводной линии

Рис. 7.

Дано: R - радиус цилиндров (провод); d - расстояние между геометрическими осями цилиндров; - напряжение между проводами (рис. 7). Определить: потенциалы проводов, линейную плотность заряда, емкость на единицу длины.

Значит,

Если d>>R , то (смещением электрических осей относительно геометрических можно пренебречь) и емкость линии на единицу длины можно определить по формуле

.

Поле и емкость двухпроводной линии с учетом влияния Земли

Рис. 8.

Дано: над плоской поверхностью Земли подвешены горизонтально два цилиндрических провода с параллельными осями (рис. 8).

h1 - высота подвеса 1-го провода; h2 - высота подвеса 2-го провода; R - радиусы проводов; d - расстояние между нормальными проекциями осей проводов на поверхности Земли.

По условию задачи требуется: вывести уравнения, связывающие между собой линейные плотности зарядов на проводах и потенциалы проводов. Определить параметры этих уравнений: потенциальные и емкостные коэффициенты, частичные емкости и рабочую емкость линии, если d, h1 и h2>>R .

Для решения поставленной задачи можно воспользоваться методом изображений. Распределение поля над поверхностью Земли не изменится, если Землю убрать, а под поверхностью Земли расположить на глубинах h1 и h2 провода с линейной плотностью заряда .

После такого преобразования можно считать, что в системе действует электростатическое поле двух пар параллельных разноименно заряженных осей (рис. 9).

Рис. 9.

Поскольку d, h и h >> R, смещением электрических осей относительно геометрических осей можно пренебречь.

Используя принцип наложения, выразим потенциалы проводов через линейные плотности зарядов

Из этих уравнений видно, что потенциалы проводов являются линейными комбинациями линейных плотностей зарядов

или

(1)

Коэффициенты называются потенциальными коэффициентами единицы длины проводов.

, - это собственные потенциальные коэффициенты проводов,

, - это взаимные потенциальные коэффициенты.

;

Как видно, матрица симметричная, значит, для линии выполняется принцип взаимности.

Из системы уравнений (1) выразим τ1 и τ2.

(2)

Коэффициенты называются емкостными коэффициентами на единицу длины линии и измеряются в Ф/м. Собственные потенциальные и емкостные коэффициенты всегда положительны.

Взаимные потенциальные коэффициенты положительны, а взаимные емкостные коэффициенты всегда отрицательны.

Систему уравнений (2) можно записать иначе

Коэффициенты Сij называют частичными емкостями на единицу длины.

Если провода линии не связаны с Землей и питаются от незаземленного источника ЭДС, то суммарный заряд линии равен нулю, т.е. .

Вычтем второе уравнение из первого и получим

Отношение линейной плотности заряда провода к напряжению называют в данном случае рабочей ёмкостью линии на единицу длины

(3)

Можно изобразить эквивалентную схему системы заряженных проводников линии (рис. 10).

Рис. 10.

Анализируя эту схему, можно получить другое выражение для рабочей емкости линии

Cраб = C12 + C11C22/(C11 + C22) (4)

Можно доказать, что выражения (3) и (4) тождественны.

Ниже представлен текст вычислительного сценария расчёта потенциальных и ёмкостных коэффициентов, а также частичных ёмкостей многопроводной воздушной линии с учётом влияния земли.

% ElStatLin - Расчёт потенциальных и емкостных коэффициентов многопроводной линии.

% Смещение электрических осей относительно геометрических не учитываетсq.

% Входные параметры:

% x - горизонтальные координаты подвеса проводов;

% y - вериткальные координаты подвеса проводов;

% D - диаметры всех проводов

% Все эти переменные - строковые матрицы

% Выходные параметры:

% al - потенциальные коэффициенты проводов;

% be - ёмкостные коэффициенты проводов;

% c - частичные ёмкости проводов

eps0=8.85e-12; % Абcолютнаq диэлектрическаq проницаемость вакуума, Ф/м

rp=sqrt((repmat(x,length(x),1)-repmat(x,length(x),1).').^2+...

(repmat(y,length(y),1)-repmat(y,length(y),1).').^2)+diag(D/2);

rm=sqrt((repmat(x,length(x),1)-repmat(x,length(x),1).').^2+...

(repmat(y,length(y),1)+repmat(y,length(y),1).').^2);

al=log(rm./rp)/eps0/2/pi % Потенциальные коэффициенты, м/Ф

be=inv(al) % Ёмкостные коэффициенты, Ф/м

c=diag(sum(be))+diag(diag(be))-be % Частичные ёмкости, Ф/м

Распределение зарядов и потенциалов в системе
заряженных проводников

Пусть имеется система из n заряженных проводников: qi (i = 1,…, n ) - заряды проводников, (i = 1,…, n ) - потенциалы проводников.

Потенциалы проводников можно представить в виде линейной комбинации их зарядов.

;

или

или

Коэффициенты называются потенциальными коэффициентами системы проводников и измеряются в 1/Ф.

Из последнего матричного уравнения можно выразить заряды проводников

или

,

т. е. .

Коэффициенты называются емкостными коэффициентами системы проводников и измеряются в Ф.

Последнее соотношение можно записать иначе

;

Сij - это частичные емкости системы проводников;

- собственные частичные емкости;

- взаимные частичные емкости.

Матрицы симметричные, т.е. . Значит, для системы заряженных проводников выполняется принцип взаимности.

Электростатические экраны

Принцип электростатического экранирования электрических и электронных элементов в аппаратуре основан на том, что медленно изменяющееся электрическое поле не может проникнуть внутрь объема, ограниченного проводником, поскольку любая поверхность электропроводящего тела в электростатическом поле является эквипотенциальной.

Контрольные вопросы

1. Какими соотношениями описывается поле двух разноимённо заряженных осей?

2. Какими соотношениями описывается поле "коаксиального" кабеля со смещённой жилой?

3. Какими соотношениями описывается поле двухпроводной линии с проводами разного радиуса?

4. Какими соотношениями описывается поле двухпроводной линии с проводами одинакового радиуса?

5. Какими соотношениями описывается поле системы цилиндр - плоскость.

6. Какими соотношениями описывается поле и ёмкость двухпроводной линии с учётом влияния земли?

7. Какими соотношениями описывается распределение зарядов и потенциалов в системе заряженных проводников?

8. На чём основан принцип действия электростатических экранов?

 

Поиск по сайту:

Система Orphus

Яндекс.Метрика