MATLAB.Exponenta
MATLAB и Simulink на русском
Технологии разработки и отладки
		сложных технических систем

Математика\Partial Differential Equations (PDE) Toolbox

Шмелев В.Е., Сбитнев С.А.

"ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ"

"ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ"

Глава 1. Основные понятия теории электромагнитного поля

§ 1.1. Определение электромагнитного поля и его физических величин.
Математический аппарат теории электромагнитного поля

Электромагнитным полем (ЭМП) называется вид материи, оказывающий на заряженные частицы силовое воздействие и определяемый во всех точках двумя парами векторных величин, которые характеризуют две его стороны - электрическое и магнитное поля.

Электрическое поле - это составляющая ЭМП, которая характеризуется воздействием на электрически заряженную частицу с силой, пропорциональной заряду частицы и не зависящей от ее скорости.

Магнитное поле - это составляющая ЭМП, которая характеризуется воздействием на движущуюся частицу с силой, пропорциональной заряду частицы и ее скорости.

Изучаемые в курсе теоретических основ электротехники основные свойства и методы расчета ЭМП предполагают качественное и количественное исследование ЭМП, встречающихся в электротехнических, радиоэлектронных и биомедицинских устройствах. Для этого наиболее пригодны уравнения электродинамики в интегральной и дифференциальной формах.

Математический аппарат теории электромагнитного поля (ТЭМП) базируется на теории скалярного поля, векторном и тензорном анализе, а также дифференциальном и интегральном исчислении.

Контрольные вопросы

1. Что такое электромагнитное поле?

2. Что называют электрическим и магнитным полем?

3. На чём базируется математический аппарат теории электромагнитного поля?

§ 1.2. Физические величины, характеризующие ЭМП

Вектором напряженности электрического поля в точке Q называется вектор силы, действующей на электрически заряженную неподвижную частицу, помещенную в точку Q , если эта частица имеет единичный положительный заряд.

В соответствии с этим определением электрическая сила, действующая на точечный заряд q равна:

,

где E измеряется в В/м.

Магнитное поле характеризуется вектором магнитной индукции. Магнитная индукция в некоторой точке наблюдения Q - это векторная величина, модуль которой равен магнитной силе, действующей на заряженную частицу, находящуюся в точке Q , имеющую единичный заряд и движущуюся с единичной скоростью, причем векторы силы, скорости, магнитной индукции, а также заряд частицы удовлетворяют условию

.

Магнитная сила, действующая на криволинейный проводник с током может быть определена по формуле

.

На прямолинейный проводник, если он находится в однородном поле, действует следующая магнитная сила

.

Во всех последних формулах B - магнитная индукция, которая измеряется в теслах (Тл).

1 Тл - это такая магнитная индукция, при которой на прямолинейный проводник с током 1А действует магнитная сила, равная 1Н, если линии магнитной индукции направлены перпендикулярно проводнику с током, и если длина проводника равна 1м.

Кроме напряженности электрического поля и магнитной индукции в теории электромагнитного поля рассматриваются следующие векторные величины:

1) электрическая индукция D (электрическое смещение), которая измеряется в Кл/м2,

2) напряженность магнитного поля H, которая измеряется в А/м.

Векторы ЭМП являются функциями пространства и времени:

,

где Q - точка наблюдения, t - момент времени.

Если точка наблюдения Q находится в вакууме, то между соответствующими парами векторных величин имеют место следующие соотношения

,

,

где - абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума (основная электрическая постоянная), =8,85419*10-12 ;

- абсолютная магнитная проницаемость вакуума (основная магнитная постоянная); = 4π*10-7 .

Контрольные вопросы

1. Что такое напряжённость электрического поля?

2. Что называют магнитной индукцией?

3. Чему равна магнитная сила, действующая на движущуюся заряженную частицу?

4. Чему равна магнитная сила, действующая на проводник с током?

5. Какими векторными величинами характеризуется электрическое поле?

6. Какими векторными величинами характеризуется магнитное поле?

§ 1.3. Источники электромагнитного поля

Источниками ЭМП являются электрические заряды, электрические диполи, движущиеся электрические заряды, электрические токи, магнитные диполи.

Понятия электрического заряда и электрического тока даны в курсе физики. Электрические токи бывают трех типов:

1. Токи проводимости.

2. Токи смещения.

3. Токи переноса.

Ток проводимости - скорость прохождения подвижных зарядов электропроводящего тела через некоторую поверхность.

.

Ток смещения - скорость изменения потока вектора электрического смещения через некоторую поверхность.

.

Ток переноса характеризуется следующим выражением

где v - скорость переноса тел через поверхность S; n - вектор единичной нормали к поверхности; - линейная плотность заряда тел, пролетающих через поверхность, в направлении нормали; ρ - объемная плотность электрического заряда; ρv - плотность тока переноса.

Электрическим диполем называется пара точечных зарядов +q и - q, находящихся на расстоянии l друг от друга (рис. 1).

Рис. 1.

Точечный электрический диполь характеризуется вектором электрического дипольного момента:

.

Магнитным диполем называется плоский контур с электрическим током I. Магнитный диполь характеризуется вектором магнитного дипольного момента

,

где S - вектор площади плоской поверхности, натянутой на контур с током. Вектор S направлен перпендикулярно этой плоской поверхности, причем, если смотреть из конца вектора S , то движение по контуру в направлении, совпадающим с направлением тока, будет происходить против часовой стрелки. Это означает, что направление вектора дипольного магнитного момента связано с направлением тока по правилу правого винта.

Атомы и молекулы вещества представляют собой электрические и магнитные диполи, поэтому каждую точку вещественного типа в ЭМП можно характеризовать объемной плотностью электрического и магнитного дипольного момента:

P - электрическая поляризованность вещества:

,

M - намагниченность вещества:

.

Электрическая поляризованность вещества - это векторная величина, равная объемной плотности электрического дипольного момента в некоторой точке вещественного тела.

Намагниченность вещества - это векторная величина, равная объемной плотности магнитного дипольного момента в некоторой точке вещественного тела.

Электрическое смещение - это векторная величина, которая для любой точки наблюдения вне зависимости от того, находится ли она в вакууме или в веществе, определяется из соотношения:

(для вакуума или вещества),

(только для вакуума).

Напряженность магнитного поля - векторная величина, которая для любой точки наблюдения вне зависимости от того находится ли она в вакууме или в веществе определяется из соотношения:

,

где напряженность магнитного поля измеряется в А/м.

Кроме поляризованности и намагниченности существуют другие объемно-распределенные источники ЭМП:

- объемная плотность электрического заряда ; ,

где объемная плотность электрического заряда измеряется в Кл/м3;

- вектор плотности электрического тока, нормальная составляющая которого равна

.

В более общем случае ток, протекающий через незамкнутую поверхность S, равен потоку вектора плотности тока через эту поверхность:

,

где вектор плотности электрического тока измеряется в А/м2.

Контрольные вопросы

1. Что является источниками электромагнитного поля?

2. Что такое ток проводимости?

3. Что такое ток смещения?

4. Что такое ток переноса?

5. Что такое электрический диполь и электрический дипольный момент?

6. Что такое магнитный диполь и магнитный дипольный момент?

7. Что называют электрической поляризованностью и намагниченностью вещества?

8. Что называется электрическим смещением?

9. Что называется напряжённостью магнитного поля?

10. Что такое объёмная плотность электрического заряда и плотность тока?

Пример применения MATLAB

Задача.

Дано: Контур с электрическим током I в пространстве представляет собой периметр треугольника, декартовы координаты вершин которого заданы: x1, x2, x3, y1, y2, y3, z1, z2, z3. Здесь нижние индексы - номера вершин. Вершины пронумерованы в направлении протекания электрического тока.

Требуется составить функцию MATLAB, вычисляющую вектор дипольного магнитного момента контура. При составлении m-файла можно предполагать, что пространственные координаты измеряются в метрах, а ток - в амперах. Допускается произвольная организация входных и выходных параметров.

Решение. Ниже приведён текст m-функции.

% m_dip_moment - вычисление магнитного дипольного момента треугольного контура с током в пространстве

% pm = m_dip_moment(tok,nodes)

% ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ

% tok - ток в контуре;

% nodes - квадратная матрица вида [x1, x2, x3; y1, y2, y3; z1, z2, z3].' , в каждой строке которой записаны координаты соответствующей вершины.

% ВЫХОДНОЙ ПАРАМЕТР

% pm - матрица-строка декартовых компонентов вектора магнитного дипольного момента.

function pm = m_dip_moment(tok,nodes);

pm=tok*[det([ones(3,1) nodes(:,[2,3])]) det([ones(3,1) nodes(:,[3,1])]) det([ones(3,1) nodes(:,[1,2])])]/2;

% В последнем операторе вектор площади треугольника умножается на ток

Пример запуска разработанной m-функции:

>> nodes=10*rand(3)

nodes =

9.5013 4.8598 4.5647

2.3114 8.913 0.18504

6.0684 7.621 8.2141

>> pm=m_dip_moment(1,nodes)

pm =

13.442 20.637 -2.9692

В данном случае получилось PM = (13.442*1x + 20.637*1y - 2.9692*1z) А*м2, если ток в контуре равен 1 А.

§ 1.4. Пространственные дифференциальные операторы в теории электромагнитного поля

Градиентом скалярного поля Φ(Q) = Φ(x, y, z) называется векторное поле, определяемое формулой:

,

где V1 - область, содержащая точку Q; S1 - замкнутая поверхность, ограничивающая область V1, Q1 - точка, принадлежащая поверхности S1; δ - наибольшее расстояние от точки Q до точек на поверхности S1 (max| Q Q1|).

Дивергенцией векторного поля F(Q)=F(x, y, z) называется скалярное поле, определяемое по формуле:

Ротором (вихрем) векторного поля F(Q)=F(x, y, z) называется векторное поле, определяемое по формуле:

rot F =

Оператор набла - это векторный дифференциальный оператор, который в декартовых координатах определяется формулой:

Представим grad, div и rot через оператор набла:

Запишем эти операторы в декартовых координатах:

; ;

Оператор Лапласа в декартовых координатах определяется формулой:

Дифференциальные операторы второго порядка:

Интегральные теоремы

Теорема о градиенте ;

Теорема о дивергенции

Теорема о роторе

В теории ЭМП применяется также ещё одна из интегральных теорем:

.

Контрольные вопросы

1. Что называется градиентом скалярного поля?

2. Что называется дивергенцией векторного поля?

3. Что называется ротором векторного поля?

4. Что такое оператор набла и как через него выражаются дифференциальные операторы первого порядка?

5. Какие интегральные теоремы справедливы для скалярных и векторных полей?

Пример применения MATLAB

Задача.

Дано: В объёме тетраэдра скалярное и векторное поля изменяются по линейному закону. Координаты вершин тетраэдра заданы матрицей вида [x1, y1, z1; x2, y2, z2; x3, y3, z3; x4, y4, z4]. Значения скалярного поля в вершинах заданы матрицей [Ф1; Ф2; Ф3; Ф4]. Декартовы компоненты векторного поля в вершинах заданы матрицей [F1x, F1y, F1z; F2x, F2y, F2z; F3x, F3y, F3z; F4x, F4y, F4z].

Определить в объёме тетраэдра градиент скалярного поля, а также дивергенцию и ротор векторного поля. Составить для этого функцию MATLAB.

Решение. Ниже приведён текст m-функции.

% grad_div_rot - Вычисление градиента, дивергенции и ротора ... в объёме тетраэдра

% [grad,div,rot]=grad_div_rot(nodes,scalar,vector)

% ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ

% nodes - матрица координат вершин тетраэдра:

% строкам соответствуют вершины, столбцам - координаты;

% scalar - столбцовая матрица значений скалярного поля в вершинах;

% vector - матрица компонентов векторного поля в вершинах:

% строкам соответствуют вершины, столбцам - декартовы компоненты.

% ВЫХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ

% grad - матрица-строка декартовых компонентов градиента скалярного поля;

% div - значение дивергенции векторного поля в объёме тетраэдра;

% rot - матрица-строка декартовых компонентов ротора векторного поля.

%

% При вычислениях предполагается, что в объёме тетраэдра

% векторное и скалярное поля изменяются в пространстве по линейному закону.

function [grad,div,rot]=grad_div_rot(nodes,scalar,vector);

a=inv([ones(4,1) nodes]); % Матрица коэффициентов линейной интерполяции

grad=(a(2:end,:)*scalar).'; % Компоненты градиента скалярного поля

div=[a(2,:) a(3,:) a(4,:)]*vector(:); % Дивергенция векторного поля

rot=sum(cross(a(2:end,:),vector.'),2).';

Пример запуска разработанной m-функции:

>> nodes=10*rand(4,3)

nodes =

3.5287 2.0277 1.9881

8.1317 1.9872 0.15274

0.098613 6.0379 7.4679

1.3889 2.7219 4.451

>> scalar=rand(4,1)

scalar =

0.93181

0.46599

0.41865

0.84622

>> vector=rand(4,3)

vector =

0.52515 0.01964 0.50281

0.20265 0.68128 0.70947

0.67214 0.37948 0.42889

0.83812 0.8318 0.30462

>> [grad,div,rot]=grad_div_rot(nodes,scalar,vector)

grad =

-0.16983 -0.03922 -0.17125

div =

-1.0112

rot =

-0.91808 0.20057 0.78844

Если предположить, что пространственные координаты измеряются в метрах, а векторное и скалярное поля - безразмерные, то в данном примере получилось:

grad Ф = (-0.16983*1x - 0.03922*1y - 0.17125*1z) м-1;

div F = -1.0112 м-1;

rot F = (-0.91808*1x + 0.20057*1y + 0.78844*1z) м-1.

§ 1.5. Основные законы теории электромагнитного поля

Уравнения ЭМП в интегральной форме

Закон полного тока:

или

Циркуляция вектора напряженности магнитного поля вдоль контура l равна полному электрическому току, протекающему через поверхность S, натянутую на контур l, если направление тока образуют с направлением обхода контура правовинтовую систему.

Закон электромагнитной индукции:

,

где Ec - напряженность стороннего электрического поля.

ЭДС электромагнитной индукции eи в контуре l равна скорости изменения магнитного потока через поверхность S, натянутую на контур l, причем направление скорости изменения магнитного потока образует с направлением eи левовинтовую систему.

Теорема Гаусса в интегральной форме:

Поток вектора электрического смещения через замкнутую поверхность S равен сумме свободных электрических зарядов в объёме, ограниченном поверхностью S.

Закон непрерывности линий магнитной индукции:

Магнитный поток через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Непосредственное применение уравнений в интегральной форме позволяет производить расчет простейших электромагнитных полей. Для расчета электромагнитных полей более сложной формы применяют уравнения в дифференциальной форме. Эти уравнения называются уравнениями Максвелла.

Уравнения Максвелла для неподвижных сред

Эти уравнения непосредственно следуют из соответствующих уравнений в интегральной форме и из математических определений пространственных дифференциальных операторов.

Закон полного тока в дифференциальной форме:

,

где ,

- плотность полного электрического тока,

* - плотность стороннего электрического тока,

- плотность тока проводимости,

- плотность тока смещения: ,

- плотность тока переноса: .

Это означает, что электрический ток является вихревым источником векторного поля напряженности магнитного поля.

Закон электромагнитной индукции в дифференциальной форме:

Это означает, что переменное магнитное поле является вихревым источником для пространственного распределения вектора напряженности электрического поля.

Уравнение непрерывности линий магнитной индукции:

Это означает, что поле вектора магнитной индукции не имеет истоков, т.е. в природе не существует магнитных зарядов (магнитных монополей).

Теорема Гаусса в дифференциальной форме:

Это означает, что истоками векторного поля электрического смещения являются электрические заряды.

Для обеспечения единственности решения задачи анализа ЭМП необходимо дополнить уравнения Максвелла уравнениями материальной связи между векторами E и D, а также B и H.

Соотношения между векторами поля и электрофизическими свойствами среды

Известно, что

(1)

Все диэлектрики поляризуются под действием электрического поля. Все магнетики намагничиваются под действием магнитного поля. Статические диэлектрические свойства вещества могут быть полностью описаны функциональной зависимостью вектора поляризованности P от вектора напряженности электрического поля E (P=P(E)). Статические магнитные свойства вещества могут быть полностью описаны функциональной зависимостью вектора намагниченности M от вектора напряженности магнитного поля H (M=M(H)). В общем случае такие зависимости носят неоднозначный (гистерезисный) характер. Это означает, что вектор поляризованности или намагниченности в точке Q определяется не только значением вектора E или H в этой точке, но и предысторией изменения вектора E или H в этой точке. Экспериментально исследовать и моделировать эти зависимости чрезвычайно сложно. Поэтому на практике часто предполагают, что векторы P и E, а также M и H коллинеарны, и электрофизические свойства вещества описывают скалярными гистерезисными функциями (|P|=|P|(|E|), |M|=|M|(|H|). Если гистерезисными характеристиками вышеназванных функций можно пренебречь, то электрофизические свойства описывают однозначными функциями P=P(E), M=M(H).

Во многих случаях эти функции приближенно можно считать линейными, т.е.

, (2)

где - диэлектрическая восприимчивость; - магнитная восприимчивость вещества.

Если учесть остаточную поляризованность Pr сегнетоэлектрика или остаточную намагниченность Mr ферромагнетика, то

(3)

Тогда с учетом соотношения (1) можно записать следующее

, (4)

где ;

, - соответственно относительная диэлектрическая и магнитная проницаемости вещества:

- абсолютная диэлектрическая проницаемость вещества:

- абсолютная магнитная проницаемость вещества:

Соотношения (2), (3), (4) характеризуют диэлектрические и магнитные свойства вещества. Электропроводящие свойства вещества могут быть описаны законом Ома в дифференциальной форме

,

где - удельная электрическая проводимость вещества, измеряемая в См/м.

В более общем случае зависимость между плотностью тока проводимости и вектором напряженности электрического поля носит нелинейный векторно-гистерезисный характер.

Энергия электромагнитного поля

Объемная плотность энергии электрического поля равна

,

где Wэ измеряется в Дж/м3.

Объемная плотность энергии магнитного поля равна

,

где Wм измеряется в Дж/м3.

Объемная плотность энергии электромагнитного поля равна

.

В случае линейных электрических и магнитных свойств вещества объемная плотность энергии ЭМП равна

.

Это выражение справедливо для мгновенных значений удельной энергии и векторов ЭМП.

Удельная мощность тепловых потерь от токов проводимости

Удельная мощность сторонних источников

Контрольные вопросы

1. Как формулируется закон полного тока в интегральной форме?

2. Как формулируется закон электромагнитной индукции в интегральной форме?

3. Как формулируется теорема Гаусса и закон непрерывности магнитного потока в интегральной форме?

4. Как формулируется закон полного тока в дифференциальной форме?

5. Как формулируется закон электромагнитной индукции в дифференциальной форме?

6. Как формулируется теорема Гаусса и закон непрерывности линий магнитной индукции в интегральной форме?

7. Какими соотношениями описываются электрофизические свойства вещества?

8. Как выражается энергия электромагнитного поля через векторные величины, его определяющие?

9. Как определяется удельная мощность тепловых потерь и удельная мощность сторонних источников?

Примеры применения MATLAB

Задача 1.

Дано: Внутри объёма тетраэдра магнитная индукция и намагниченность вещества изменяются по линейному закону. Координаты вершин тетраэдра заданы, значения векторов магнитной индукции и намагниченности вещества в вершинах также заданы.

Вычислить плотность электрического тока в объёме тетраэдра, используя m-функцию, составленную при решении задачи в предыдущем параграфе. Вычисление выполнить в командном окне MATLAB, предполагая, что пространственные координаты измеряются в миллиметрах, магнитная индукция - в теслах, напряжённость магнитного поля и намагниченность - в кА/м.

Решение.

Зададим исходные данные в формате, совместимом с m-функцией grad_div_rot:

>> nodes=5*rand(4,3)

nodes =

0.94827 2.7084 4.3001

0.96716 0.75436 4.2683

3.4111 3.4895 2.9678

1.5138 1.8919 2.4828

>> B=rand(4,3)*2.6-1.3

B =

1.0394 0.41659 0.088605

0.83624 -0.41088 0.59049

0.37677 -0.54671 -0.49585

0.82673 -0.4129 0.88009

>> mu0=4e-4*pi % абcолютная магнитная проницаемоcть вакуума, мкГн/мм

mu0 =

0.0012566

>> M=rand(4,3)*1800-900

M =

122.53 -99.216 822.32

-233.26 350.22 40.663

364.93 218.36 684.26

83.828 530.68 -588.68

>> [grad,div,cur_dens]=grad_div_rot(nodes,ones(4,1),B/mu0-M)

grad =

0 -3.0358e-017 0

div =

-712.01

cur_dens =

-914.2 527.76 -340.67

В данном примере вектор полной плотности тока в рассматриваемом объёме получился равным (-914.2*1x + 527.76*1y - 340.67*1z) А/мм2. Чтобы определить модуль плотности тока, выполним следующий оператор:

>> cur_d=sqrt(cur_dens*cur_dens.')

cur_d =

1109.2

Вычисленное значение плотности тока не может быть получено в сильно намагниченных средах в реальных технических устройствах. Данный пример - чисто учебный. А теперь проверим корректность задания распределения магнитной индукции в объёме тетраэдра. Для этого выполним следующий оператор:

>> [grad,div,cur_dens]=grad_div_rot(nodes,ones(4,1),B)

grad =

0 -3.0358e-017 0

div =

-0.34415

cur_dens =

-0.38115 0.37114 -0.55567

Здесь мы получили значение div B = -0.34415 Тл/мм, чего не может быть в соответствии с законом непрерывности линий магнитной индукции в дифференциальной форме. Из этого следует, что распределение магнитной индукции в объёме тетраэдра задано некорректно.

Задача 2.

Пусть тетраэдр, координаты вершин которого заданы, находится в воздухе (единицы измерения - метры). Пусть заданы значения вектора напряжённости электрического поля в его вершинах (единицы измерения - кВ/м).

Требуется вычислить объёмную плотность электрического заряда внутри тетраэдра.

Решение можно выполнить аналогично:

>> nodes=3*rand(4,3)

nodes =

2.9392 2.2119 0.59741

0.81434 0.40956 0.89617

0.75699 0.03527 1.9843

2.6272 2.6817 0.85323

>> eps0=8.854e-3 % абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума, нФ/м

eps0 =

0.008854

>> E=20*rand(4,3)

E =

9.3845 8.4699 4.519

1.2956 10.31 11.596

19.767 6.679 15.207

11.656 8.6581 10.596

>> [grad,dens_z,rot]=grad_div_rot(nodes,ones(4,1),E*eps0)

grad =

2.2204e-016 0 0

dens_z =

0.10685

rot =

0.076467 0.21709 -0.015323

В данном примере объёмная плотность заряда получилась равной 0.10685 мкКл/м3.

§ 1.6. Граничные условия для векторов ЭМП.
Закон сохранения заряда. Теорема Умова-Пойнтинга

Граничные условия для векторов ЭМП

Пусть некоторая поверхность S разделяет среды 1 и 2 (рис. 2).

Рис. 2.

Рассмотрим некоторую точку на этой поверхности. Вектор единичной нормали к поверхности S в этой точке направлен из среды 1 в среду 2. Тогда поведение векторов H, B, E, D в этой точке, в соответствии с уравнениями Максвелла описываются следующим образом

,

где - поверхностная плотность тока, А/м.

Если = 0, то H1t - H2t = 0.

.

Если E2ct - E1ct = 0, то E2t - E1t = 0

, т. е .

или

Здесь обозначено: H1 - вектор напряжённости магнитного поля на поверхности раздела сред в среде №1; H2 - то же в среде №2; H1t - тангенциальная (касательная) составляющая вектора напряжённости магнитного поля на поверхности раздела сред в среде №1; H2t - то же в среде №2; E1 вектор полной напряжённости электрического поля на поверхности раздела сред в среде №1; E2 - то же в среде №2; E1c - сторонняя составляющая вектора напряжённости электрического поля на поверхности раздела сред в среде №1; E - то же в среде №2; E1t - тангенциальная составляющая вектора напряжённости электрического поля на поверхности раздела сред в среде №1; E2t - то же в среде №2; Et - тангенциальная сторонняя составляющая вектора напряжённости электрического поля на поверхности раздела сред в среде №1; E2t - то же в среде №2; B1 - вектор магнитной индукции на поверхности раздела сред в среде №1; B2 - то же в среде №2; B1n - нормальная составляющая вектора магнитной индукции на поверхности раздела сред в среде №1; B2n - то же в среде №2; D1 - вектор электрического смещения на поверхности раздела сред в среде №1; D2 - то же в среде №2; D1n - нормальная составляющая вектора электрического смещения на поверхности раздела сред в среде №1; D2n - то же в среде №2; σ - поверхностная плотность электрического заряда на границе раздела сред, измеряемая в Кл/м2.

Закон сохранения заряда

Если отсутствуют сторонние источники тока, то

,

а в общем случае , т. е. вектор плотности полного тока не имеет истоков, т. е. линии полного тока всегда замкнуты

Это и есть закон сохранения заряда в дифференциальной форме

Подставляя, получим .

Это равенство выражает закон сохранения заряда в интегральной форме.

Граничные условия для плотности тока

, т. е.

Нормальная составляющая полной плотности тока всегда непрерывна. Если отсутствуют сторонние источники тока, то

.

Скачок нормальной составляющей плотности тока проводимости на поверхности раздела сред равен скорости изменения поверхностной плотности электрического заряда.

Теорема Умова-Пойнтинга

Объёмная плотность мощности, потребляемой материальной точкой в ЭМП, равна

(1)

Электромагнитная мощность, потребляемая внутри объёма V равна

Эта мощность поступает в объем V через замкнутую поверхность S из окружающего пространства, значит электромагнитная мощность, излучаемая объемом V в окружающее пространство, равно

(2)

В соответствии с тождеством (1)

Это и есть уравнение баланса мощностей для объема V. В общем случае в соответствии с равенством (3) электромагнитная мощность, генерируемая источниками внутри объема V, идет на тепловые потери, на накопление энергии ЭМП и на излучение в окружающее пространство через замкнутую поверхность, ограничивающую этот объем.

Подынтегральное выражение в интеграле (2) называется вектором Пойнтинга:

,

где П измеряется в Вт/м2.

Этот вектор равен плотности потока электромагнитной мощности в некоторой точке наблюдения. Равенство (3) - есть математическое выражение теоремы Умова-Пойнтинга.

Электромагнитная мощность, излучаемая областью V в окружающее пространство равна потоку вектора Пойнтинга через замкнутую поверхность S, ограничивающую область V.

Контрольные вопросы

1. Какими выражениями описываются граничные условия для векторов электромагнитного поля на поверхностях раздела сред?

2. Как формулируется закон сохранения заряда в дифференциальной форме?

3. Как формулируется закон сохранения заряда в интегральной форме?

4. Какими выражениями описываются граничные условия для плотности тока на поверхностях раздела сред?

5. Чему равна объемная плотность мощности, потребляемой материальной точкой в электромагнитном поле?

6. Как записывается уравнение баланса электромагнитной мощности для некоторого объёма?

7. Что такое вектор Пойнтинга?

8. Как формулируется теорема Умова-Пойнтинга?

Пример применения MATLAB

Задача.

Дано: Имеется треугольная поверхность в пространстве. Координаты вершин заданы. Значения векторов напряжённости электрического и магнитного поля в вершинах также заданы. Сторонняя составляющая напряжённости электрического поля равна нулю.

Требуется вычислить электромагнитную мощность, проходящую через эту треугольную поверхность. Составить функцию MATLAB, выполняющую это вычисление. При вычислениях считать, что вектор положительной нормали направлен так, что если смотреть из его конца, то движение в порядке возрастания номеров вершин будет происходить против часовой стрелки.

Решение. Ниже приведён текст m-функции.

% em_power_tri - вычисление электромагнитной мощности, проходящей через

% треугольную поверхность в пространстве

% P=em_power_tri(nodes,E,H)

% ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ

% nodes - квадратная матрица вида [x1, x2, x3; y1, y2, y3; z1, z2, z3].' ,

% в каждой строке которой записаны координаты соответствующей вершины.

% E - матрица компонентов вектора напряжённости электрического поля в вершинах:

% строкам соответствуют вершины, столбцам - декартовы компоненты.

% H - матрица компонентов вектора напряжённости магнитного поля в вершинах.

% ВЫХОДНОЙ ПАРАМЕТР

% P - электромагнитная мощность, проходящая через треугольник

%

% При вычислениях предполагается, что на треугольнике

% векторы напряжённости поля изменяются в пространстве по линейному закону.

function P=em_power_tri(nodes,E,H);

% Вычисляем вектор двойной площади треугольника

S=[det([ones(3,1) nodes(:,[2,3])]) det([ones(3,1) nodes(:,[3,1])]) det([ones(3,1) nodes(:,[1,2])])];

P=sum(cross(E,(ones(3,3)+eye(3))*H,2))*S.'/24;

Пример запуска разработанной m-функции:

>> nodes=2*rand(3,3)

nodes =

0.90151 0.5462 0.4647

1.4318 0.50954 1.6097

1.7857 1.7312 1.8168

>> E=2*rand(3,3)

E =

0.46379 0.15677 1.6877

0.47863 1.2816 0.3478

0.099509 0.38177 0.34159

>> H=2*rand(3,3)

H =

1.9886 0.62843 1.1831

0.87958 0.73016 0.23949

0.6801 0.78648 0.076258

>> P=em_power_tri(nodes,E,H)

P =

0.18221

Если предположить, что пространственные координаты измеряются в метрах, вектор напряжённости электрического поля - в вольтах на метр, вектор напряжённости магнитного поля - в амперах на метр, то в данном примере электромагнитная мощность, проходящая через треугольник, получилась равной 0.18221 Вт.

 

Поиск по сайту:

Система Orphus

Яндекс.Метрика