MATLAB.Exponenta
MATLAB и Simulink на русском
Технологии разработки и отладки
		сложных технических систем

Математика\Partial Differential Equations Toolbox

В.Е.Шмелев "Partial Differential Equations Toolbox. Инструментарий решения дифференциальных уравнений в частных производных":
2. Работа пользователя с GUI-приложением PDE Toolbox Matlab

  В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу

2.3. Список стандартных краевых задач PDETool

2.3.7. Переменное гармоническое электромагнитное поле

Электромагнитное поле, в котором токи, заряды, потенциалы и составляющие векторов меняются по гармоническому закону с одной и той же заданной частотой, называется гармоническим электромагнитным полем. Для анализа таких полей в PDE Toolbox MATLAB используется метод комплексных ампли-туд, который применяется также в теории цепей синусоидального тока.

Пусть в некоторой точке наблюдения Q задан вектор N(Q,t), декартовы со-ставляющие которого изменяются во времени по гармоническому закону:

N(Q,t) = Nxm(Q)*sin( t+ x)*1x+Nym(Q)*sin( t+ y)*1y+Nzm(Q)*sin( t+ z)*1z = Nxsm(Q)*sin( t)*1x+Nxcm(Q)*cos( t)*1x+Nysm(Q)*sin( t)*1y+Nycm(Q)*cos( t)*1y+Nzsm(Q)*sin( t)*1z+Nzcm(Q)*cos( t)*1z , (2.25)

где Nxm(Q), Nym(Q), Nzm(Q) - амплитуды x,y,z-составляющих вектора N(Q,t); x, y, z - начальные фазы x,y,z-составляющих вектора N(Q,t); Nxsm(Q), Nysm(Q), Nzsm(Q) - амплитуды x,y,z-синусных составляющих вектора N(Q,t); Nxcm(Q), Nycm(Q), Nzcm(Q) - амплитуды x,y,z-косинусных составляющих вектора N(Q,t); - круговая (циклическая) частота изменения вектора.

Комплексной амплитудой вектора N(Q,t), изменяющегося по гармоническому закону (2.25), называется вектор, определяемый выражением

Nm(Q) = Nxm(Q)*exp(j x)*1x+Nym(Q)*exp(j y)*1y+Nzm(Q)*exp(j z)*1z = (Nxsm(Q)+j*Nxcm(Q))*1x+(Nysm(Q)+j*Nycm(Q))*1y+(Nzsm(Q)+j*Nzcm(Q))*1z .                                              (2.26)

Комплексным действующим значением вектора N(Q,t) называется вектор, x,y,z-составляющими которого являются комплексные действующие значения этих же составляющих вектора N(Q,t):

N(Q) = Nx(Q)*exp(j x)*1x+Ny(Q)*exp(j y)*1y+Nz(Q)*exp(j z)*1z = (Nxs(Q)+j*Nxc(Q))*1x+(Nys(Q)+j*Nyc(Q))*1y+(Nzs(Q)+j*Nzc(Q))*1z ,                                                                     (2.27)

где Nx(Q) = = Nxm(Q)/ ; Ny(Q) = Nym(Q)/ ; Nz(Q) = Nzm(Q)/ ; Nxs(Q) = Nxsm(Q)/ ; Nxc(Q) = Nxcm(Q)/ ; Nys(Q) = Nysm(Q)/ ; Nyc(Q) = Nycm(Q)/ ; Nzs(Q) = Nzsm(Q)/ ; Nzc(Q) = Nzcm(Q)/ , т.е. N(Q) = Nm(Q)/ .

Соотношение (2.26) устанавливает взаимно-однозначное соответствие меж-ду гармонически изменяющимся вектором N(Q,t) и его комплексной амплиту-дой Nm(Q). Соотношение (2.27) устанавливает взаимно-однозначное соответст-вие между гармонически изменяющимся вектором N(Q,t) и его комплексным действующим значением N(Q). Соотношения (2.26), (2.27) позволяют исклю-чить время из уравнений математической физики.

В общем случае переменное электромагнитное поле в неподвижной среде описывается уравнениями Максвелла в пространственно-временной форме:

rot H = п - закон полного тока. Здесь п - векторное поле полной плот-ности электрического тока: п = + пр+ см, - плотность тока сторонних источников; пр - плотность тока проводимости; см - плотность тока смещения, см = ;

rot (E-Eс) = - - закон электромагнитной индукции. Здесь Eс - век-торное поле сторонней составляющей напряжённости электрического поля;

div D = - "теорема Гаусса" в дифференциальной форме;

div B = 0 - закон непрерывности линий магнитной индукции.

Уравнения Максвелла можно записать в терминах комплексных действую-щих значений векторов электромагнитного поля:

rot H = п - закон полного тока в комплексной форме; п = + пр+ см; см = j D;

rot (E-Eс) = -j B - закон электромагнитной индукции в комплексной форме;

div D = , div B = 0 - "теорема Гаусса" и закон непрерывности линий магнитной индукции в комплексной форме. Комплексную форму уравнений Максвелла иначе называют пространственно-частотной формой.

Последние уравнения Максвелла дополняются уравнениями материальной связи, связывающими между собой пары векторов (E, D), (H, B), (E, пр). Если среда обладает линейными электрофизическими свойствами (а только в этом случае может существовать гармоническое электромагнитное поле), то уравнения материальной связи имеют вид:

D = E - уравнение диэлектрических свойств вещества;

B = H или H = B - уравнение магнитных свойств вещества;

пр = E - уравнение электропроводящих свойств вещества (закон Ома в дифференциальной форме). В эти уравнения входят следующие параметры электрофизических свойств вещества на фиксированной частоте :

- комплексная абсолютная диэлектрическая проницаемость вещества;

- комплексная абсолютная магнитная проницаемость вещества;

- комплексное удельное магнитное сопротивление вещества;

- удельная электрическая проводимость вещества.

Введём понятие индуцированной плотности тока:

и = пр+ см = ( +j )E. Введём также понятие эффективного вектора элек-трического смещения: Dэфф = и/(j ) = ( + /(j ))E = эфф*E. Последнее со-отношение можно назвать обобщённым уравнением электрических свойств вещества.

Часто при анализе гармонических электромагнитных полей корректное задание объёмно-распределённых источников ЭДС Eс вызывает значительные за-труднения. В таких случаях эти источники задают в виде поля -rot Eс, которое называют полем сторонней плотности магнитного тока м ( м = -rot Eс).

С учётом введённых обозначений система уравнений Максвелла с уравне-ниями материальной связи имеет вид:

{ rot H = +j эфф*E; rot E = - м-j B; H = B }                                 (2.28)

Для вывода уравнения математической физики, которое может служить ос-новой для постановки краевой задачи, нужно ввести понятие электродинамиче-ских потенциалов:

,                                (2.29)

где A - комплексный векторный магнитный потенциал; - комплексный скалярный электрический потенциал. Подставляя (2.29) в (2.28) и исключая из (2.28) векторы H, E, B, получим систему уравнений математической физики относительно электродинамических потенциалов:

     (2.30)

Система уравнений (2.30) справедлива для общего случая гармонических электромагнитных полей (трёхмерных и двумерных). В случае плоскопараллельного поля A = A*1z, = *1z, div A = 0, = 0, следовательно при м = 0 система (2.30) сводится к одному PDE вида

-div ( grad A) - A =

или -div ( grad A) + A =                                                      (2.31)

Если ввести обозначение A' = A/ , то уравнение (2.31) примет следующий вид:

-div ( grad A') + A' = ,                                             (2.32)

где c = ( )-0.5 = 2.9979*108 м/с - скорость света в вакууме; Zв = ( / )0.5 = 376,7 Ом - волновое сопротивление вакуума [17]. Уравнение (2.32) можно записать также относительно z-составляющей комплексной напряжённости электрического поля:

-div ( grad E) + E = ,                                        (2.33)

В PDETool краевая задача анализа гармонического электромагнитного поля базируется на уравнении (2.32) или (2.33) с нулевой правой частью (т.е. при =0). На рис.2.33 показан вид диалогового окна ввода коэффициентов PDE этой краевой задачи. Здесь приняты следующие обозначения переменных (полей): E - векторный магнитный потенциал A' (в случае (2.32)) или напряжённость электрического поля E (в случае (2.33)); mu - комплексная относительная магнитная проницаемость ; omega - отношение циклической частоты к скорости света в вакууме /c; sigma - произведение волнового сопротивления вакуума на удельную электрическую проводимость Zв ; epsilon - комплексная относительная диэлектрическая проницаемость . По умолчанию mu = 1; omega = 1; sigma = 1; epsilon = 1. Коэффициенты PDE, показанные на рис.2.33, можно задавать в виде скалярных полей с помощью выражений. Синтаксис такой же, как и в случае "Generic Scalar".

Рис.2.33. Диалоговое окно ввода коэффициентов PDE гармонического поля

Рис.2.34. Диалоговое окно ввода граничных условий Дирихле

Рис.2.35. Диалоговое окно ввода граничных условий Неймана

На рис.2.34, 2.35 показан вид диалоговых окон ввода граничных условий для краевой задачи гармонического поля и значения соответствующих пара-метров по умолчанию. Как видно, ввод граничных условий осуществляется так же, как и в случае "Generic Scalar". Отличие заключается только в обозначении искомой переменной (там u, а здесь E).

Краевая задача анализа гармонического электромагнитного поля названа в PDETool "AC Power Electromagnetics".

  В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу


Поиск по сайту:

Система Orphus

Яндекс.Метрика