MATLAB.Exponenta
MATLAB и Simulink на русском
Технологии разработки и отладки
		сложных технических систем

Математика\Partial Differential Equations Toolbox

В.Е.Шмелев "Partial Differential Equations Toolbox. Инструментарий решения дифференциальных уравнений в частных производных":
2. Работа пользователя с GUI-приложением PDE Toolbox Matlab

  В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу

2.3. Список стандартных краевых задач PDETool

2.3.3. Механические напряжения в упругой среде с изотропными линейными свойствами на недеформируемой сетке

Стационарное поле механических напряжений в твёрдом теле характеризуется пространственным распределением следующих физических величин [16]:

тензор (второй валентности) механического напряжения , тензор (второй валентности) деформации e, вектор перемещения u. Источником этого поля является пространственное распределение вектора объёмной плотности нагружающей силы (нагрузки) f. При записи уравнений внешнее произведение тензоров любой валентности будем обозначать .

Линеаризованные уравнения теории упругости имеют вид:

e = 0,5*(grad u + u) ;

–div = f – уравнение равновесия в отсчётной конфигурации;

= *tr(e)*1 + 2e – уравнение, описывающее изотропные упругие свойства вещества; здесь 1 – единичный шаровой тензор второй валентности.

Из последнего уравнения видно, что линейные изотропные упругие свойства вещества характеризуются двумя параметрами и , которые называются коэффициентами Ламэ: – модуль упругости; – модуль сдвига. В справочной литературе приводятся также и другие параметры упругих свойств вещества: модуль объёмного сжатия ; модуль Юнга E = ; коэффициент Пуассона . Коэффициенты Ламэ могут быть выражены через модуль Юнга и коэффициент Пуассона:

; .                                (2.10)

С учётом сказанного определяющее линеаризованное уравнение теории упругости имеет вид:

= *div u *1 + *(grad u + u) .

Это уравнение связывает поле тензора напряжений с полем вектора перемещений. Если его подставить в уравнение равновесия, то получится линеаризованное уравнение математической физики относительно поля вектора перемещений:

–grad(div u) – div((grad u + u)) = f .                      (2.11)

PDETool решает уравнение (2.11). По команде “PDE/PDE Specification” разворачивается диалоговое окно ввода коэффициентов PDE, изображённое на рис. 2.26. В этом окне коэффициенты PDE имеют следующие имена: E – модуль Юнга; nu – коэффициент Пуассона; Kx – x-составляющая объёмной плотности нагружающей силы; Ky – y-составляющая объёмной плотности нагружающей силы; rho – плотность вещества. Коэффициенты Ламэ, входящие в (2.11), вычисляются по формулам (2.10). По умолчанию E = 1E3; nu = 0,3; Kx = 0; Ky = 0; rho = 1. Коэффициент rho в режиме “Elliptic” игнорируется.


Рис.2.26. Диалоговое окно ввода коэффициентов PDE теории упругости

Граничные условия задаются так же, как и в случае “Generic System”. Нестационарные краевые задачи теории упругости в PDETool не поддерживаются.

Задаче на собственные значения соответствует векторное PDE вида:

–grad(div u) – div((grad u + u)) = Lu ,                              (2.12)

где – плотность вещества; L – собственное значение краевой задачи.

Коэффициенты PDE, показанные на рис.2.26, можно задавать в виде скалярных полей с помощью выражений. Синтаксис такой же, как и в случае “Generic System”. Краевая задача теории упругости на недеформируемой сетке названа в PDETool "Structural Mech, Plane Stress".

  В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу


Поиск по сайту:

Система Orphus

Яндекс.Метрика