MATLAB.Exponenta
MATLAB и Simulink на русском
Технологии разработки и отладки
		сложных технических систем

Математика\Partial Differential Equations Toolbox

В.Е.Шмелев "Partial Differential Equations Toolbox. Инструментарий решения дифференциальных уравнений в частных производных":
2. Работа пользователя с GUI-приложением PDE Toolbox Matlab

  В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу

2.3. Список стандартных краевых задач PDETool

2.3.2. Системы скалярных PDE

Приложение PDETool поддерживает решение двух скалярных PDE. В PDETool краевая задача, основанная на такой системе, имеет название “Generic System”. Система двух скалярных эллиптических PDE имеет следующий вид:

–div(c11*grad u1 + c12*grad u2) + a11*u1 + a12*u2 = f1
–div(c21*grad u1 + c22*grad u2) + a21*u1 + a22*u2 = f2 ,                                   (2.5)

где u1, u2 – искомые скалярные поля; cij, aij – скалярные коэффициенты системы PDE; f1 , f2 – правая часть (источники скалярных полей u1, u2).

Систему (2.5) можно записать в матричной форме:

–div([c]*grad [u]) + [a]*[u] = [f] ,                                                                   (2.6)

где [u] – искомое матричное поле (размерность матрицы (2,1)); [c], [a], [f] – матричные коэффициенты PDE.

Поскольку PDETool решает уравнения математической физики в двумерной расчётной области, систему (2.5) со скалярными коэффициентами cij можно представить как векторное PDE с тензорными коэффициентами второй валентности:

–div(c*grad u) + a*u = f ,

где c, a – тензорные коэффициенты PDE; f – векторная правая часть (источник искомого векторного поля u), причём индекс 1 в (2.5) соответствует x составляющей вектора, а индекс 2 – y составляющей.

Коэффициенты cij, aij, f1 , f2 можно задавать в виде скалярных полей аналитическими выражениями. В этих выражениях можно использовать переменные x, y, sd, которые интерпретируются как матрицы-строки размера (1,NE), где NE – число конечных элементов в расчётной области. Если включен режим нелинейного решателя, то можно использовать переменные u, ux, uy (при интерпретации выражения они имеют размер (2,NE)).

Система скалярных параболических PDE в матричной форме имеет следующий вид:

[d]* – div([c]*grad [u]) + [a]*[u] = [f] ,                                       (2.7)

система скалярных гиперболических PDE в матричной форме имеет вид:

[d]* – div([c]*grad [u]) + [a]*[u] = [f] ,                                       (2.8)

где [d], [c], [a] – матричные коэффициенты PDE (размерность матричных полей (2,2)), [f] – матричная правая часть PDE (размерность матричного поля (2,1)). В PDETool компоненты матричных полей [d], [c], [a], [f] можно задавать в виде выражений. В этих выражениях можно использовать переменные x, y, sd, t, где t – момент времени (скалярная переменная), размерность остальных переменных при интерпретации выражений описана выше. PDETool решает матричное PDE (2.7) или (2.8) также для моментов времени time = 0:1:10 (перенастройка этого режимного параметра невозможна).

PDETool может решать также задачу на собственные значения системы скалярных эллиптических PDE. Этой задаче соответствует матричное PDE вида:

–div([c]*grad [u]) + [a]*[u] = [d]*[u] .                                                      (2.9)

PDETool поддерживает три варианта граничных условий: граничные условия первого рода (Дирихле), граничные условия второго рода (Неймана) и смешанные (Mixed). Условия Дирихле имеют вид:

[h]*[u] = [r] ,

где [h] – матричный коэффициент размера (2,2), [r] – матричная правая часть размера (2,1).

Условия Неймана имеют вид:

n*[c]*grad [u] + [q]*[u] = [g] ,

где n – вектор единичной внешней нормали к границе расчётной области; [c] – матричный коэффициент PDE; [q] – матричный коэффициент размера (2,2), [g] – матричная правая часть размера (2,1).

Смешанные условия (Mixed) имеют вид:

{[h]*[u] = [r] ; n*[c]*grad [u] + [q]*[u] = [g] + [h]T*[m]} ,

где вторая строка матрицы [h] состоит из нулей; [m] – матрица-столбец множителей Лагранжа, вычисляемых автоматически таким образом, чтобы выполнялись условия Дирихле.

Компоненты матричных коэффициентов [h], [r], [q], [g] можно задавать в виде скалярных полей аналитическими выражениями. В этих выражениях можно использовать переменные x и y. Если включен режим нелинейного решателя (в случае системы эллиптических PDE), то можно использовать переменные u, ux, uy. При интерпретации выражений переменные x и y имеют размерность (1,ne), переменные u, ux, uy имеют размерность (2,ne), где ne – число граничных элементов. В выражениях можно использовать скалярную переменную t, которая означает момент времени.

В краевых задачах “Generic Scalar” и “Generic System” поддерживаются только нулевые начальные условия. В PDETool нет команд переопределения начальных условий.

  В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу


Поиск по сайту:

Система Orphus

Яндекс.Метрика