MATLAB.Exponenta
MATLAB и Simulink на русском
Технологии разработки и отладки
		сложных технических систем

Математика\Partial Differential Equations Toolbox

В.Е.Шмелев "Partial Differential Equations Toolbox. Инструментарий решения дифференциальных уравнений в частных производных":
2. Работа пользователя с GUI-приложением PDE Toolbox Matlab

  В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу

2.3. Список стандартных краевых задач PDETool

2.3.1. Скалярные краевые задачи: эллиптические, параболические, гиперболические, задачи на собственные частоты

Скалярное PDE – это дифференциальное уравнение относительно одного скалярного поля, содержащее пространственные дифференциальные операторы второго и нулевого порядка. В PDETool скалярная краевая задача названа “Generic Scalar”. Если PDE не содержит дифференциальных операторов по времени, то такое уравнение называется стационарным. В PDE Toolbox это эллиптическое PDE. Скалярное эллиптическое PDE имеет следующий вид:

–div(c*grad u) + a*u = f ,                                                                                 (2.1)

где c, a – коэффициенты PDE, f – правая часть PDE (источник скалярного поля u). В PDETool c, a, f – скалярные поля, которые можно задавать аналитически в виде выражений. В выражениях могут содержаться переменные x, y, sd. Здесь x, y – координаты точки наблюдения, sd – номер зоны, которой принадлежит точка наблюдения. Для каждой зоны можно задавать своё выражение для любого коэффициента PDE. Если в “Solve Parameters" PDETool установлен флажок “Use nonlinear solver” (включен нелинейный решатель PDE), то в выражения для коэффициентов PDE могут входить также переменные u, ux, uy. Здесь u – решение PDE (2.1) в точке наблюдения; ux – , uy – в точке наблюдения.

PDETool поддерживает также решение нестационарных PDE: параболических и гиперболических. Нестационарным называется PDE, содержащее дифференциальные операторы по времени. Скалярное параболическое PDE имеет следующий вид:

d* – div(c*grad u) + a*u = f ,                                                                (2.2)

скалярное гиперболическое PDE имеет вид:

d* – div(c*grad u) + a*u = f ,                                                        (2.3)

где d, c, a – коэффициенты PDE, f – правая часть PDE. В PDETool d, c, a, f – скалярные переменные (в общем случае поля), которые можно задавать аналитически в виде выражений. В выражениях могут содержаться переменные x, y, sd, t, где t – момент времени. Для каждой зоны можно задавать своё выражение для любого коэффициента PDE, входящего в (2.2) или (2.3). PDETool может решать только линейные параболические или гиперболические PDE. Это означает, что в выражениях для коэффициентов PDE запрещается использовать переменные u, ux, uy. PDETool решает уравнение (2.2) или (2.3) для моментов времени time = 0:1:10 (перенастройка этого режимного параметра невозможна).

PDETool может решать также задачу на собственные значения эллиптического PDE. Этой задаче соответствует уравнение вида:

–div(c*grad u) + a*u = d*u .                                                                        (2.4)

При некоторых значениях уравнение (2.4) не имеет единственного решения относительно скалярного поля u. Такие значения называются собственными значениями эллиптического PDE (эллиптической краевой задачи). Решая задачу на собственные значения, можно исследовать численную устойчивость стационарных и нестационарных PDE (и соответствующих краевых задач). Можно также определять собственные частоты и параметры затухания колебаний пространственно–распределённых систем.

PDETool поддерживает два варианта граничных условий: граничные условия первого рода (Дирихле) и граничные условия второго рода (Неймана). Условия Дирихле имеют вид:

h*u = r ,

где h, r – скалярные коэффициенты.

Условия Неймана имеют вид:

n*c*grad u + q*u = g ,

где n – вектор единичной внешней нормали к границе расчётной области; c – коэффициент PDE; q и g – скалярные коэффициенты.

Коэффициенты h, r, q, g можно задавать в виде скалярных полей аналитическими выражениями. В этих выражениях можно использовать переменные x и y. Если включен режим нелинейного решателя (в случае эллиптического PDE), то можно использовать переменные u, ux, uy. Их смысл показан выше.

Если r или g = 0, то граничные условия называются нулевыми. Если в задаче на собственные значения заданы ненулевые граничные условия, то они автоматически заменяются на нулевые.

  В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу


Поиск по сайту:

Система Orphus

Яндекс.Метрика