MATLAB è Simulink íà ðóññêîì

https://hub.exponenta.ru/

Математика\Partial Differential Equations Toolbox

В.Е.Шмелев "Partial Differential Equations Toolbox. Инструментарий решения дифференциальных уравнений в частных производных":
1. Конечноэлементная технология решения задач математической физики

  В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу

1.1. Конечноэлементная аппроксимация. Понятие о функциях формы

Для решения PDE задачи всю расчётную область представляют в виде совокупности неперекрывающихся геометрических фигур достаточно простой формы. Размеры таких фигур как правило бывают малы по сравнению с размерами расчётной области. Эти элементарные фигуры называют конечными элементами. Трёхмерные расчётные области обычно разбивают на многогранники, а двумерные – на многоугольники. Простейшие многогранники (прямолинейные четырёхузловые тетраедры) и простейшие многоугольники (прямолинейные трёхузловые треугольники) называют симплекс-элементами. Вся совокупность конечных элементов в расчётной области называется конечноэлементной сеткой. Вершины этих многогранников или многоугольников называют узлами конечноэлементной сетки.

Пусть в результате расчёта известно узловое распределение некоторой физической величины. Для простоты будем полагать, что эта величина скалярная. Обозначим её латинской буквой u. Узловое распределение этой величины может быть описано столбцовой матрицей, которую обозначим [u(у)]. В этой матрице каждой строке соответствует узел конечноэлементной сетки. Распространение узлового распределения на все возможные точки расчётной области называют конечноэлементной аппроксимацией. В общем случае конечноэлементное аппроксимирующее выражение имеет вид [1, 2, 3]:

u(Q) = [N](Q)*[u(у)] ,                                                                            (1.1)

где Q – точка наблюдения, имеющая свои координаты;
[N](Q) – матрица-строка функций формы.

В пределах отдельно взятого конечного элемента:

u(Q) = [N(e)](Q)*[u(e)] ,                                                                     (1.2)

где [N(e)](Q) – матрица-строка функций формы конечного элемента;
[u(e)] – узловое распределение физической величины в пределах конечного элемента.

Функции формы – это функции “интерполяционной природы” [1, 2, 3], обладающие следующими свойствами:

  1. Ni(Qi) = 1;
  2. Ni(Qj) = 0;
  3. Ni(Qk) = 0;Nj(Qk) = 0;
  4. Ni(Q) = в общем случае любое значение,
    но для симплекс-элементов Ni(Q) I [0;1] .

Здесь обозначено: i, j – номера узлов некоторого конечного элемента; Qi, Qj – узлы конечного элемента; Qk – точка, не принадлежащая конечному элементу; Q – точка, принадлежащая конечному элементу; Ni – скалярное поле, называемое функцией формы i-го узла; Nj – скалярное поле, называемое функцией формы j-го узла.

PDE Toolbox Matlab поддерживает только симплекс-элементы, для которых характерны линейные функции формы:

[N(e)](Q) = [a] + [ax]*x + [ay]*y ,

где x, y – координаты точки наблюдения Q;
[a], [ax], [ay] – матрицы-строки коэффициентов функций формы конечного элемента, которые в соответствии со свойствами 1 – 4 вычисляются по формуле:

image4642.gif (1636 bytes),

где 1,2,3 – локальные номера узлов конечного элемента (далее для краткости – просто “элемента”).

Функции формы позволяют легко определять в пределах каждого элемента пространственные дифференциальные операторы первого порядка от скалярного или векторного поля по известному узловому распределению

grad u = grad [N(e)] * [u(e)]; div A = grad [N(e)] * [A(e)]; rot A = grad [N(e)] ** [A(e)],

где [A(e)] – узловое распределение векторного поля A в пределах элемента;

grad [N(e)] = [ax]*1x + [ay]*1y ;

1x , 1y – единичные базисные векторы (орты) декартовой системы координат.

  В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу


Поиск по сайту:


Система Orphus