MATLAB.Exponenta
MATLAB и Simulink на русском
Технологии разработки и отладки
		сложных технических систем

Статьи, материалы по практическим приложениям

Особенности программной реализация задачи целочисленного программирования

1.   Введение

Тулбокс Optimization 3.0 в новой версии программного комплекса MATLAB7 дополнен новой программой, существенно расширяющей его возможности. А именно, в состав тулбокса Optimization 3 введена новая функция bintprog, предназначенная для решения целочисленного программирования.

Заметное количество замечаний к предыдущим версиям программного комплекса MATLAB6 и ниже содержало вопросы о целочисленном программировании. Следует отметить, что в предыдущих версиях существовала возможность решения подобных задач, хотя и отчасти опосредованным способом, путем первичного решения эквивалентной непрерывной задачи. Так в случае постановки целочисленной задачи имелась следующая рекомендация. Последовательно из числа независимых переменных выделяются те величины, которые допускают их коррекцию. Образование дискретных значений производится их округлением до ближайшего целого значения. После выделения дискретных значений производится решение приведенной задачи для оставшихся свободных переменных. После нахождения решения приведенной задачи производится выделение других дискретных переменных и расчетный цикл повторяется до тех пор, пока не будут выделены все дискретные переменные. Такая постановка задач целочисленного программирования существенно снижала функциональные возможности программного комплекса MATLAB6.

Введение новой функции bintprog существенно расширяет диапазон решаемых оптимизационных задач. Интерес к функции bintprog оправдан так же и тем, что в ней реализован так называемый метод ветвей и границ. Данный метод достаточно подробно изложен в русскоязычной литературе и составляет основу решения большинства задач целочисленного программирования. Впервые метод ветвей и границ был предложен Лендом и Дойгом [1] в 1960 для решения общей задачи целочисленного линейного программирования. Интерес к этому методу и фактически его "второе рождение" связаны с работой Литтла, Мурти, Суини и Кэрела [2], посвященной задаче коммивояжера. Выражение метод ветвей и границ связано с естественной графической интерпретацией. Основу метода составляет некое многоуровневое дерево, на нижнем уровне которого располагаются элементы множества, ветви которого ведут к определенному оптимуму.

Предлагаемая статья посвящена особенностям использования оптимизационной функции bintprog как неотъемлемой части тулбокса Optimization 3 программного комплекса MATLAB7. Приводится пример использования функции bintprog.

 

2.   Описание программной функции bintprog.

Функция bintprog предназначена для решения задачи целочисленного программирования вида

при условии

где f, b и beq являются векторами, A и Aeq - матрицы, а x есть целочисленный вектор решения вектор решения, то есть его компоненты должны принимать значения 0 или 1.

 

Синтаксис функции bintprog:

·   x = bintprog(f) - решает задачу целочисленного программирования .

·   x = bintprog(f, A, b) - решает задачу целочисленного программирования при условии .

·   x = bintprog(f, A, b, Aeq, beq) - решает предыдущую задачу при дополнительных условиях типа равенств .

·   x = bintprog(f, A, b, Aeq, beq, x0) - устанавливает начальную точку поиска в x0. Если точка x0 находится в недопустимой области, то команда bintprog принимает произвольную начальную точку.

·   x = bintprog(f, A, b, Aeq, Beq, x0, options) - при оптимизации используется принимаемая по умолчанию опция из структуры options, которую можно задать с помощью функции optimset.

·   [x, fval] = bintprog(...) - rвозвращает fval как значение целевой функции в точке x.

·   [x,fval, exitflag] = bintprog(...) - возвращает параметр exitflag с описанием выходных условий команды bintprog.

·   [x, fval, exitflag, output] = bintprog(...) возвращает структуру output, которая содержит информацию о данных результатах оптимизации.

Входные аргументы функции bintprog:

Входные аргументов команды bintprog включает в себя следующие переменные:

f

Вектор с коэффициентами линейной целевой функции.

A

Матрица с коэффициентами линейных ограничений типа неравенств

b

Вектор правой части линейных ограничений типа неравенств.

Aeq

Матрица с коэффициентами линейных ограничений типа равенств

beq

Вектор правой части линейных ограничений типа равенств.

x0

Начальная точка поиска по данному алгоритму.

options

Структура опций для данного алгоритма.

Выходные данные функции bintprog

Выходные параметры exitflag и output имеет ряд следующих особенностей:

exitflag

Некое целое число, идентифицирующее причину остановки алгоритма. Далее приводится перечень принимаемых значений и соответствующих причин останова алгоритма.

 

1

Функция сошлась к некому решению x.

 

0

Число итераций превысило значение options.MaxIter.

 

-2

Данная задача не имеет решения.

 

-4

Число перебранных узлов превышает значение options.MaxNodes.

 

-5

Время перебора превышает значение options.MaxTime.

 

-6

Число итераций решателя LP для некого узла при решении задачи LP-релаксации превысило значение options.MaxRLP.

output

Структура с информацией о результатах оптимизации. Поле данной структуры имеет вид.

 

iterations

Число выполненных итераций.

 

nodes

Число узлов перебора.

 

time

Превышение времени работы алгоритма.

 

algorithm

Используемый алгоритм.

 

message

Причина остановки работы алгоритма

Структура опций функции bintprog

Для установки или изменения значений поля данной структуры используется команда optimset. Предусмотрено использование следующих опций:

BranchStrategy

Тип алгоритма, используемого при выборе переменной ветвления в дереве поиска:

o   'mininfeas' - Выбор переменной с минимальной целочисленной недостижимостью, т.е. выбираются переменные со значением, близким к 0 или 1, но не равным 0 или 1.

o   'maxinfeas' -- Выбор переменной с максимальной целочисленной недостижимостью, т.е. выбираются переменные со значением близким к 0,5 (принимается по умолчанию).

Diagnostics

Отображение диагностической информации о данной функции

Display

Уровень отображения. 'off' нет вывода отображения; 'iter' отображения выводится на каждой итерации; 'final' (принимается по умолчанию) - отображение только при окончательном выводе.

DispNodeInterval

Интервал отображений узлов.

MaxIter

Максимальное число допустимых итераций.

MaxNodes

Максимальное число решений (или узлов) функции перебора.

MaxRLPIter

Максимальное число итераций решателя LP для некого узла при решении задачи LP-релаксации.

MaxTime

Максимальное количество времени в секундах для выполнения заданной функции.

NodeSearchStrategy

Стратегия алгоритма, используемого для отбора следующего узла при переборе в дереве поиска:

o   'df' - стратегия первого поиска в зависимости от положения уровня.

o   'bn' - Наилучшая стратегия перебора узлов, при которой отбирается узел с наименьшим предельным значением целевой функции.

TolCon

Конечный допустимый предел на нарушение заданного ограничения

TolFun

Конечный допустимый предел для значения функции.

TolXInteger

Допустимый предел значений переменных

TolRLPFun

Конечный допустимый предел на значение функции задачи релаксации линейного программирования.

3.   Алгоритм.

В функции bintprog для решения задачи целочисленного программирования используется алгоритм линейного программирования (LP) на основе метода ветвей и границ. Слова метод ветвей и границ связаны с естественной графической интерпретацией. Основу метода составляет некое многоуровневое дерево, ветви которого составляют основу поиска определенного оптимума.

На каждом шаге метода элементы разбиения подвергаются проверке для выяснения, содержит данное подмножество оптимальное решение или нет. Проверка осуществляется посредством вычисления оценки снизу для целевой функции на данном подмножестве. Если оценка снизу не меньше оптимума - наилучшего из найденных решений, то подмножество может быть отброшено. Проверяемое подмножество может быть отброшено еще и в том случае, когда в нем удается найти наилучшее решение. Если значение целевой функции на найденном решении меньше оптимума, то происходит его смена.

В алгоритме функции bintprog проводится перебор оптимальных решений задачи целочисленного программирования путем решения некого набора задач LP - релаксации, в котором требование целочисленности переменных заменяется на более слабое ограничение . Данный алгоритм включает в себя:

·   Перебор целочисленных допустимых решений.

·   Корректировка наилучшей целочисленной допустимой точки по мере продвижения по дереву поиска.

·   Проверка невозможности достижения более лучших целочисленных решений посредством решения ряда задач линейного программирования.

Далее приводится более детальное описание метода ветвей и границ.

Ветвление

Предложенный алгоритм образует дерево поиска путем многократного добавления ограничений на данную задачу, т.е. <ветвления>. На этапе ветвления в алгоритме проводится выбор некой переменной х, чье текущее значение не является целым и далее накладываются ограничение xj = 0 для формирования одной ветви и ограничение xj = 1 для формирования другой ветви. Весь этот процесс может быть представлен в виде некоего двоичного дерева, узлы которого представляют дополнительно налагаемые ограничения. Далее на графике приводится иллюстрация законченного бинарного дерева для задачи с тремя переменными x1, x2 и x3. Следует отметить, что в общем случае порядок переменных при снижении уровней дерева может не соответствовать обычному порядку индексов переменных.

Рис. 1. Бинарное дерево для задачи с тремя переменными x1, x2 и x3

Решение о ветвлении

На каждом узле в данном алгоритме проводится решение задачи LP релаксации с учетом ограничений для данного узла и принимается решение о необходимости или ветвления или движения к другому узлу в зависимости от полученного результата. Имеются три возможности:

·   Если задача LP-релаксации для данной текущей точки является недопустимой или ее оптимальное значение больше, чем это значение в наилучшей точке целых значений, то алгоритм удаляет эту точку из данного дерева, после чего не проводится никаких переборов в ветвях ниже данного узла. Далее алгоритм переходит к анализу нового узла согласно методу, заданного опцией NodeSearchStrategy.

·   Если алгоритм определяет новую допустимую целочисленную точку с меньшим значением целевой функции, чем это было найдено раньше, то он корректирует наилучшую целевую точку и переходит к анализу следующего узла.

·   Если задача LP-релаксации является оптимальной, но не целочисленной, то значение оптимальной целевой функции задачи LP-релаксации является меньшим, чем в наилучшей целой точке, а алгоритм переходит на новую ветвь согласно методу, заданному опцией BranchStrategy.

 

Границы

Искомое решение задачи LP-релаксации определяет нижнюю границу для задачи бинарного целочисленного программирования. Если решение задачи LP-релаксации уже является бинарным целым вектором, то это решение определяет верхнюю границу задачи бинарного целочисленного программирования.

По мере прохождения все большего числа узлов в дереве поиска в данном алгоритме проводится корректировка нижней и верхней границ целевой функции с учетом данных полученных на этапе границ. Граница для целевой функции служит в качестве пороговой величины для отсечения излишних ненужных ветвей.

Ограничения по алгоритму

Алгоритм функции bintprog потенциально может перебрать все 2n бинарных целых векторов, где n есть число переменных. Поскольку для реализации полного алгоритма может потребоваться чрезмерно много времени, то, возможно, наложить некое ограничение на процедуры перебора с помощью следующих опций:

·    MaxNodes - Максимальное число узлов в алгоритме перебора.

·    MaxRLPIter - Максимальное число итераций решателя LP для некого узла при решении задачи LP-релаксации..

·    MaxTime -- Максимальное количество времени в секундах для выполнения заданной функции.

4.   Пример.

Необходимо минимизировать функцию

при наличии ограничений

,

где x1, x2, x3 и x4 являются бинарными целыми. Выполним следующие команды:

f = [-9; -5; -6; -4]; 
A = [6 3 5 2; 0 0 1 1; -1 0 1 0; 0 -1 0 1];
b = [9; 1; 0; 0];
x = bintprog(f,A,b); 
 
После выполнения указанных команд получим следующий результат:
Optimization terminated successfully.
 
x =
 
     1
     1
     0
     0

Заключение

Введение в Тулбокс Optimization 3.0 в версии программного комплекса MATLAB7 новой функции bintprog существенно расширяет диапазон решаемых оптимизационных задач. Интерес к функции bintprog оправдан так же и тем, что в ней реализован так называемый метод ветвей и границ. Данный метод достаточно подробно описан в русскоязычной литературе, изучение метода входит в программу ряда учебных курсов и составляет основу решения большинства задач целочисленного программирования. Предлагаемая статья посвящена особенностям использования оптимизационной функции bintprog как неотъемлемой части тулбокса Optimization 3 программного комплекса MATLAB7. Приводится пример использования функции bintprog.

Изложенный материал может быть использован для практического применения специалистами, деятельность которых связана с использованием программного комплекса MATLAB и решением задач целочисленного программирования

Литература

1.   Land A.H., and Doig A.G. An autmatic method of solving discrete programming problems. Econometrica. v28 (1960), pp 497-520.

2.   Little J.D.C., Murty K.G., Sweeney D.W., and Karel C. An algorithm for the traveling salesman problem. Operations Research. v11 (1963), pp 972-989.

3.   Optimization Toolbox. User's Guide, Version 3.0. - The MathWorks, Inc., 2004.


Поиск по сайту:

Система Orphus

Яндекс.Метрика