MATLAB.Exponenta
MATLAB и Simulink на русском
Технологии разработки и отладки
		сложных технических систем

Статьи, материалы по практическим приложениям

Использование программного пакета MATLAB для оптимизации теплообменника "труба в трубе"
Журнал Exponenta.pro. Математика в приложениях. #1(5)/ 2004.
Андрижиевский А. А., Веремеева О. Н., Трифонов А. Г.

1.       Введение

Понятие оптимизации предполагает получение наилучших результатов в заданных условиях. С математической точки зрения задача оптимизации заключается в отыскании экстремума некоторого критерия (набора критериев) эффективности функционирования реального объекта при наличии ряда ограничений на его технологические и конструкционные параметры.

Применительно к оптимизации теплообменных устройств типа <труба в трубе> в качестве технологических параметров системы рассматриваются:

-    линейные скорости потоков в трубном и межтрубном пространствах;
-    коэффициенты теплообмена;
-    разность температур между рабочими средами;
-    тепловая нагрузка теплообменного аппарата (ТА).

К параметрам технологических режимов относят - массовые расходы потоков, а также входные и выходные температуры потоков. В качестве варьируемых параметров рассматриваются - массовый расход холодного потока, конечные температуры потоков и количество теплоты, передаваемой в ТА.

На стадии проектирования ТА в задаче его оптимизации можно выделить следующие основные этапы:

-      общий анализ задачи оптимизации;
-      определение критерия эффективности или оптимизации;
-      выбор оптимизирующих или управляемых переменных и анализ их влияния на критерий оптимизации;
-      составление математической модели;
-      выбор алгоритма поиска оптимального значения;
-      программная реализация и проведение оптимизационных расчетов.

Первый этап предполагает предварительный общий анализ задачи оптимизации: анализ возможных вариантов технологических схем, выяснение типа задачи оптимизации и т.д.

На втором этапе определяется вид целевой функции оптимизации ТА. Для оценки эффективности ТА могут быть использованы критерии различного вида: технологические, термодинамические, экономические и т.п. Наиболее общим и полным является технико-экономический критерий эффективности в виде приведенных затрат.

Третий этап предполагает выявление качественного влияния оптимизирующих переменных на выбранную целевую функцию с учетом возможных ограничений. При выборе оптимизирующих переменных необходимо учитывать, что по некоторым из них оптимум может находиться на самом ограничении. Кроме того, на этом этапе важно исключить все ограничения, которые заведомо не будут достигаться в оптимальном режиме.

Четвертый этап предназначен для установления в математической форме связи критерия оптимизации с управляемыми переменными, а также математической трактовки всех имеющихся ограничений. Цель этого этапа - получение математической формулировки задачи оптимизации.

Пятый этап состоит в составлении последовательности логических и вычислительных действий, обеспечивающих решение математической задачи нахождения экстремума критерия оптимизации в области изменений управляемых переменных. В практике математического моделирования наибольшее распространение получили графический способ записи алгоритма (блок-схемы) и запись алгоритма в виде последовательности шагов.

Шестой этап включает в себя реализацию вычислительного алгоритма и поиск оптимальных значений целевой функции [1].

В данной работе приводится описание применения пакета Simulink [2] совместно с системой MATLAB [3] для оптимизации теплообменника типа <труба в трубе>. Под оптимизацией параметров ТА в данном случае подразумевается поиск минимума целевой функции (приведенных затрат) посредством варьирования площадей проходных сечений рабочих сред.

2.       Математическая модель

Внешний вид и обобщенные технологические параметры моделируемого ТА представлены на рис.1.

Рис. 1. Внешний вид теплообменника <труба в трубе>

Процесс теплообмена в ТА представляет собой взаимосвязанную иерархическую совокупность элементарных процессов теплопроводности, конвекции и излучения.

Интенсивность переноса тепла посредством теплопроводности определяется коэффициентом теплопроводности и температурным градиентом, а конвективного теплообмена - коэффициентом теплоотдачи. Процессы конвективного теплообмена неразрывно связаны с условиями движения среды - режимами течения. При ламинарном режиме течения перенос теплоты в направлении нормали к стенке ТА осуществляется в основном вследствие теплопроводности, а при турбулентном режиме течения происходит интенсивное перемешивание частиц среды.

При построении математической модели ТА примем, что:

-      структура потоков теплоносителей соответствует модели идеального вытеснения, в основе которой лежит допущение о поршневом течении без перемешивания вдоль потока при равномерном распределении вещества в направлении, перпендикулярном движению;
-      теплоносители движутся в теплообменнике в режиме противотока;
-      их движение не сопровождается фазовыми переходами;
-      в межтрубном пространстве движется холодный теплоноситель, во внутренней трубе - горячий;
-      теплофизические свойства берутся при средних температурах теплоносителей.

Целевая функция включает капитальные и эксплуатационные затраты и имеет следующий вид

, (1)

где - нормативный срок окупаемости капитальных затрат в ТА; - капитальные затраты; - эксплуатационные затраты.

Капитальные вложения в ТА включают стоимости теплоносителей, теплообменника и его монтажа, а также нагнетательного оборудования и его монтажа. При этом в стоимость теплообменника входит стоимость сырья, основных и вспомогательных материалов, энергетических средств, заработная плата рабочим и другие расходы. Стоимость сырья определяется объемом использованного материала , его плотностью и стоимостью одного килограмма металла .

, (2)

где - объем труб; - длина труб; - площадь поперечного сечения трубы.

В состав эксплуатационных затрат входят затраты на прокачку теплоносителей, на текущий ремонт оборудования, зарплата обслуживающего персонала, косвенные накладные расходы.

, (3)

где - суммарная мощность нагнетателей; - стоимость энергии на привод вспомогательного оборудования; - число часов оборудования в году [1].

Мощность насосов на прокачку теплоносителей определяется исходя из соотношений

, (4)

, (5)

где - массовый расход теплоносителя; - полное сопротивление при движении теплоносителя через теплообменник; - коэффициент гидравлического сопротивления; - эффективный диаметр; - скорость течения; - плотность теплоносителя.

Рассмотрим процесс теплопередачи в ТА. Количество теплоты , переносимое через элементарную площадь поверхности ТА , составляет

, (6)

где - коэффициент теплопроводности; - среднелогарифмический температурный напор.

При сделанных допущениях уравнение теплового баланса для ТА будет иметь вид

, (7)

где и - массовые расходы теплоносителей для первой и второй сторон теплообменника, соответственно; , , и - начальные и конечные значения температур теплоносителей для первой и второй сторон теплообменника, соответственно; и значения удельной теплоемкости теплоносителей для первой и второй сторон теплообменника, соответственно.

Уравнение теплопередачи

, (8)

где , (9)

где и - коэффициент теплоотдачи со стороны греющего и нагреваемого теплоносителей, соответственно; - коэффициент теплопроводности материала труб; - наружный диаметр теплопередающей трубы; - внутренний диаметр теплопередающей трубы.

, (10)

где распределение конечных температур принято согласно уравнению теплового баланса (7).

- поверхность теплообмена; - диаметр поверхности теплопередачи; - длина труб теплообменника.

Для тонкой цилиндрической стенки расчетное значение диаметра поверхности теплопередачи составляет

, (11)

где - внутренний диаметр теплопередающей трубы; - толщина внутренней трубы.

Коэффициент теплоотдачи для теплоносителей, движущихся в трубах, находят по формулам

- для турбулентного режима (>10000), (12)

- для переходного режима (2300<<10000), (13)

- для ламинарного режима (>2300), (14)

где , , - безразмерные числа Рейнольдса, Прандтля и Грасгофа; - коэффициент, учитывающий изменение коэффициента теплоотдачи вдоль длины трубы (если , то = 1); - массовый расход теплоносителя; - коэффициент динамической вязкости; - ускорение силы тяжести; - коэффициент объемного расширения; - плотность; - коэффициент теплопроводности материала труб; - удельная теплоемкость теплоносителя.

Затраты мощности на прокачку определяются по соотношению

, (15)

где - эквивалентный диаметр кольцевого канала; - поперечное сечение кольцевого канала; - смоченный периметр; , - расходы теплоносителей в трубе и межтрубном пространстве ТА, соответственно, при скоростях теплоносителей , ; - внутренний диаметр внешней трубы.

Коэффициенты сопротивления трения в трубе и кольцевом канале рассчитываются по формулам:

для турбулентного режима (>10000)

; (16)

для ламинарного режима (<2300)

- для круглой трубы, - для кольцевого канала; (17)

для переходного режима (2300<<10000)

, (18)

где - коэффициент перемежаемости.

3.  Алгоритм решения

Расчет оптимального варианта целевой функции при задании d1 и d2 проводится, как показано на блок-схеме (рис. 2).

Рис. 2. Блок-схема

Параметры варьирования - диаметры труб - задаются в mld.файле (рис. 3) в Simulinke с помощью блоков источника линейно изменяющегося воздействия  Ramp - d1 и d2 , который формирует линейный сигнал вида y = Slope* time + Initial value, где Slope - скорость изменения выходного сигнала; Start time - время начала формирования сигнала; Initial value - начальный уровень сигнала на выходе блока.

Рис. 3. Блоки Simulink

Графическое отображение диаметров производится в блоке  Scope - Параметры по диаметрам . В блоке Info даются подсказки по параметрам оптимизации теплообменника. Теплофизические свойства теплоносителей задаются в m-файле исходных данных. При запуске Simulink модель файла выполняется файл исходных данных и программный файл. Выполняются два цикла - по диаметру внутренней трубы и диаметру наружной трубы, т.е. при каждом значении d2 проводится расчет целевой функции при всех значениях d1. В первую очередь производится проверка значений на условие d2 внутр > d1 наружн. Если условие соответствует истине, то производится расчет безразмерных чисел Рейнольдса, Грасгофа и Прандтля в трубе и межтрубном пространстве, иначе - целевой функции присваивается значение нуль. По значению чисел Рейнольдса определяется режим течения для каждой пары значений d1 и d2. В зависимости от режима с помощью условного оператора if выбирается формула для расчета и внутри трубы и в межтрубном пространстве. Далее вычисляется коэффициент теплопередачи , требуемая поверхность теплообмена и длина теплообменника . По вычисленным значениям длины происходит проверка условным оператором на условие . Если условие не соблюдается, то вводится поправочный коэффициент и снова производится расчет , , , , и . Если же расчетные значения попадают в заданную область, то производится расчет скоростей потоков и далее - необходимой мощности на прокачку, капитальных и эксплуатационных затрат. Результаты расчета приведенных затрат формируются в виде квадратной матрицы, из которой затем выбрасываются нулевые значения и определяется минимум функции, а также значения d1 и d2 при найденном минимуме.

Результаты оптимизации выводятся в командное окно MATLAB, и для наглядности изображается трехмерный график зависимости целевой функции от d1 и d2.

4.  Пример расчета теплообменника "труба в трубе"

В качестве объекта реализации приведенного выше алгоритма рассматривается теплообменник типа <труба в трубе> с противоточным движением теплоносителей. Внутри трубы движется горячий воздух с температурами на входе и на выходе соответственно 495 и 408 К. В межтрубном пространстве движется холодный теплоноситель - воздух с температурой на входе 407 К.

Заданные интервалы изменения диаметров труб представлены на рис.  4.

Рис. 4. Блок Scope

В рабочем окне MATLAB после завершения расчетных циклов записываются значения минимума приведенных затрат fm = 1.2629·105 $/год и соответствующие ему значения диаметров - dopt1 = 0.38 м (диаметр внутренней трубы), dopt2 = 0.44 м (диаметр наружной трубы), а также изображается график зависимости функции f от d1 и d2 (рис.  5).

рис. 5. Результаты расчета

На рис. 5 красной стрелкой указана точка минимума целевой функции.

5.  Особенности программирования в среде MATLAB

Так как MATLAB запоминает все вычисленные значения различных параметров, то для предупреждения сбоев в вычислении необходимо сначала очистить значения этих параметров из памяти. Это достигается командой clear fm, dopt1, dopt2. Значения диаметров передаются из Simulinka в виде матриц-столбцов, размерность которых устанавливается автоматически. Поэтому для задания цикла необходимо сначала определить размер матриц диаметров. Это можно осуществить с помощью команды length(dх).

Для правильного изображения трехмерных графиков матрицы f, Skap, Vtr, Sexp, Npr, Ltr, F, k, alf1 и alf2 эти матрицы необходимо транспонировать значком '.

Это происходит из-за того, что при использовании цикла

for
. . .
end

при d2 = n все расчетные значения записываются в память в виде матриц-строк, при d2 = n+1 формируется новый столбец. А при использовании условного оператора

if 
. . .
end

происходит формирование матрицы-столбца.

Заключение

В работе приведено описание программного комплекса, предназначенного для проведения оптимизационных расчетов при конструировании теплообменников типа "труба в трубе". Программный комплекс построен на основе использования пакета MATLAB и его расширения Simulink.

Использование пакета MATLAB позволяет наглядно представить оптимизационный алгоритм в виде m-файлов при введении варьируемых переменных с помощью блоков Simulink. Подобная программная реализация позволяет наглядно представить влияние технологических параметров моделируемого объекта на его оптимальные экономические показатели.

Все расчеты выполняются с приемлемой для практического применения скоростью. Точность результатов в данном случае определяется шагом разбиения передаваемых в рабочую область варьируемых параметров и качеством исходных данных.

Описанная программа оптимизации может быть использована для практического применения, а также в качестве иллюстративного материала в вузовских дисциплинах, связанных с теплофизикой, моделированием и оптимизацией. Предложенная методика проведения оптимизационных расчетов может быть распространена на более сложные типы теплообменного оборудования, а также на теплообменные системы.

Приложения

1. Пример задания исходных данных для расчета теплообменника

% MU - вязкость, Па*с; MUtr - в трубе, MUmtr - в межтрубном пространстве.
MUtr=0.000015; MUmtr=0.000015;
 % C - теплоемкость теплоносителя, Дж/(кг*К) 
Ctr=1000.;   Cmtr=1000.;
% T, t - температуры горячего и холодного потока, индекс 1-на входе,2-на выходе
T1=495.; T2=408.;
t1=407.;
 % G - расход теплоносителя, кг/с
Gtr=0.08; Gmtr=0.1;
t2=t1+(T1-T2)*Ctr*Gtr/(Gmtr*Cmtr);
% LAM - теплопроводность теплоносителя, Вт/(м*К)
LAMtr=0.2; LAMmtr=0.2;
% BETtr - коэффициент объемного расширения теплоносителя в трубах, 1/К
BETtr=0.003; BETmtr=0.003;
% RO - плотность теплоносителя, кг/м.куб.
ROtr=1.2; ROmtr=1.2;
% LAMBDA - теплопроводность стенок труб, Вт/(м*К) 
LAMBDA=230.;
% b - толщина внутренней (b1) и наружной (b2) трубы, м
b1=0.01; b2=0.005;
% Tg - число часов эксплуатации в году
Tg=365*24;
% Skw - стоимость 1 кВт*ч, $
Skw=0.22;
% ROmat - плотность материала трубы, кг/м.куб.
ROmat1=2700.; ROmat2=2700.;
% S1kg_1 - стоимость 1 кг материала трубы, $
S1kg_1=6.; S1kg_2=6.;
% tno - нормативный срок окупаемости капитальных вложений, лет
tno=6;

2. Текст программы оптимизационного расчета теплообменника

dopt1=1;dopt2=1;fm=1; % Начальные значения оптимальных параметров
clear fm, dopt1, dopt2; % Очистка предыдущих значений
id1_length=length(x1);  % Определение размера матрицы d1
id2_length=length(x2);  % Определение размера матрицы d2
for id2=1:1:id2_length  % Расчет цикла при различных диаметрах внешней трубы
for id1=1:1:id1_length  % Расчет цикла при различных диаметрах внутренней трубы
if x2(id2)>=x1(id1)+2*b1+2*b2+0.005
Smtr=(3.14/4)*(((x2(id2)-2*b2)^2)-(x1(id1)-2*b1)^2);
Def=4*Smtr/(pi*(x2(id2)-2*b2+x1(id1)+2*b1));
% Числа Рейнольдса, Грасгофа и Прандтля для потока во внутренней трубе и в межтрубном пространстве
Re=4*Gtr/(pi*MUtr*x1(id1));
Rem=Gmtr*Def/(MUmtr*Smtr);
GRtr=9.81*(x1(id1))^3*BETtr*ROtr^2/(MUtr^2);
GRmtr=9.81*Def^3*BETmtr*ROmtr^2/(MUmtr^2);
Pr=Ctr*MUtr/LAMtr;
Prm=Cmtr*MUmtr/LAMmtr;
% Расчет alfa, Вт/(м.кв.*К) для внутренней (alf1) и наружной (alf2) трубы при ламинарном, переходном и турбулентном режимах
if Re < 2300.
alf1(id1,id2)=0.15*LAMtr*Re^0.33*Pr^0.43*GRtr^0.1/x1(id1);
elseif (Re>=2300.) & (Re<=10000.)
alf1(id1,id2)=0.008*LAMtr*Re^0.9*Pr^0.43/x1(id1);
else 
alf1(id1,id2)=0.023*LAMtr*Re^0.8*Pr^0.43*1/x1(id1);
end
if Rem <2300.
alf2(id1,id2)=0.15*LAMmtr*Rem^0.33*Prm^0.43*GRmtr^0.1/Def;
elseif (Rem>=2300.) & (Rem<=10000.)
alf2(id1,id2)=0.008*LAMmtr*Rem^0.9*Prm^0.43/Def;
else 
alf2(id1,id2)=0.023*LAMmtr*Rem^0.8*Prm^0.43*1/Def;
end
% Коэффициент теплопередачи, Вт/(м.кв.*К)
ktr(id1,id2)=1/(1/alf2(id1,id2)+(x1(id1)+2*b1)/(alf1(id1,id2)*x1(id1))+((x1(id1)+2*b1)/2*LAMBDA)*
*log((x1(id1)+2*b1)/x1(id1)));
% Расчет коэффициента сопротивления трения в трубе ksi1 и в межтрубном пространстве ksi2
if Re < 2300
ksi1=64/Re;
elseif (Re>=2300.) & (Re<=10000.)
gamma=1-exp(1-Re/2300);
ksi1=(gamma+64/0.316*Re^(0.25-1)*(1-gamma))*0.316/Re^0.25;
else 
ksi1=0.316/Re^0.25;
end
if Rem < 2300
ksi2=96/Rem;
elseif (Rem>=2300.) & (Rem<=10000.)
gamma2=1-exp(1-Rem/2300);
ksi2=(gamma2+96/0.316*Rem^(0.25-1)*(1-gamma2))*0.316/Rem^0.25;
else 
ksi2=0.316/Rem^0.25;
end
Q=(T1-T2)*Ctr*Gtr;        % Тепловой поток
delT=((T1-t2)-(T2-t1))/(log((T1-t2)/(T2-t1)));  %Среднелогарифмический температурный напор
F(id1,id2)=Q/(delT*ktr(id1,id2));   %Площадь теплообмена
Dp=x1(id1)+2*b1/(1+alf2(id1,id2)/alf1(id1,id2));
Ltr(id1,id2)=F(id1,id2)/(Dp*pi);    %Длина теплообменника
if Ltr(id1,id2)>=50*x1(id1)
% Скорости потоков в трубе и межтрубном пространстве
u1(id1)=4*Gtr/(ROtr*pi*x1(id1)^2);
u2(id1,id2)=4*Gmtr/(ROmtr*pi*((x2(id2)-2*b2)^2-(x1(id1)+2*b1)^2));  
% Требуемая для прокачки теплоносителей мощность насосов
Npr1(id1,id2)=(ksi1*Ltr(id1,id2)*u1(id1)^2*Gtr)/(2*x1(id1));
Npr2(id1,id2)=(ksi2*Ltr(id1,id2)*u2(id1,id2)^2*Gmtr)/(2*Def);
% Эксплуатационные расходы
Sexp(id1,id2)=(Npr1(id1,id2)+Npr2(id1,id2))*Skw*Tg/1000.;
Vtr1(id1,id2)=Ltr(id1,id2)*3.14*((x1(id1)/2+b1)^2-(x1(id1)/2)^2);
Vtr2(id1,id2)=Ltr(id1,id2)*3.14*((x2(id2)/2)^2-(x2(id2)/2-b2)^2);
Sk1=S1kg_1*Vtr1*ROmat1;
Sk2=S1kg_2*Vtr2*ROmat2;
Ki(id1,id2)=Ltr(id1,id2)*3.14*x2(id2);      % Ki - капитальные вложения в изоляцию
Skap(id1,id2)=Sk1(id1,id2)+Sk2(id1,id2)+Ki(id1,id2);  % Капитальные затраты
f(id1,id2)=Skap(id1,id2)/tno+Sexp(id1,id2);   % Общие затраты
else
% Расчет alfa, Вт/(м.кв.*К) для внутренней (alf1) и наружной (alf2) трубы
e1=1+(2*x1(id1)/Ltr(id1,id2));
if Re < 2300.
alf1(id1,id2)=0.15*LAMtr*Re^0.33*Pr^0.43*GRtr^0.1/x1(id1);
elseif (Re>=2300.) & (Re<=10000.)
alf1(id1,id2)=0.008*LAMtr*Re^0.9*Pr^0.43/x1(id1);
else 
alf1(id1,id2)=0.023*LAMtr*Re^0.8*Pr^0.43*e1/x1(id1);
end
e2=1+(2*Def/Ltr(id1,id2));
if Rem <2300.
alf2(id1,id2)=0.15*LAMmtr*Rem^0.33*Prm^0.43*GRmtr^0.1/Def;
elseif (Rem>=2300.) & (Rem<=10000.)
alf2(id1,id2)=0.008*LAMmtr*Rem^0.9*Prm^0.43/Def;
else 
alf2(id1,id2)=0.023*LAMmtr*Rem^0.8*Prm^0.43*e2/Def;
end
ktr(id1,id2)=1/(1/alf2(id1,id2)+(x1(id1)+2*b1)/(alf1(id1,id2)*x1(id1))+((x1(id1)+2*b1)/2*LAMBDA)*
*log((x1(id1)+2*b1)/x1(id1)));  % Коэффициент теплопередачи
F(id1,id2)=Q/(delT*ktr(id1,id2));
Dp=x1(id1)+2*b1/(1+alf2(id1,id2)/alf1(id1,id2));
Ltr(id1,id2)=F(id1,id2)/(Dp*pi);
u1(id1)=4*Gtr/(ROtr*pi*x1(id1)^2);
u2(id1,id2)=4*Gmtr/(ROmtr*pi*((x2(id2)-2*b2)^2-(x1(id1)+2*b1)^2));
% Требуемая для прокачки теплоносителей мощность насосов
Npr1(id1,id2)=(ksi1*Ltr(id1,id2)*u1(id1)^2*Gtr)/(2*x1(id1));
Npr2(id1,id2)=(ksi2*Ltr(id1,id2)*u2(id1,id2)^2*Gmtr)/(2*Def);
% Эксплуатационные расходы
Sexp(id1,id2)=(Npr1(id1,id2)+Npr2(id1,id2))*Skw*Tg/1000.;
Vtr1(id1,id2)=Ltr(id1,id2)*3.14*((x1(id1)/2+b1)^2-(x1(id1)/2)^2);
Vtr2(id1,id2)=Ltr(id1,id2)*3.14*((x2(id2)/2)^2-(x2(id2)/2-b2)^2);
Sk1(id1,id2)=S1kg_1*Vtr1(id1,id2)*ROmat1;
Sk2(id1,id2)=S1kg_2*Vtr2(id1,id2)*ROmat2;
Ki(id1,id2)=Ltr(id1,id2)*3.14*x2(id2);
Skap(id1,id2)=Sk1(id1,id2)+Sk2(id1,id2)+Ki(id1,id2);  % Капитальные затраты
f(id1,id2)=Skap(id1,id2)/tno+Sexp(id1,id2);   % Общие затраты
end
else
f(id1,id2)=0;
Skap(id1,id2)=0;
Sexp(id1,id2)=0;
end
end
end
% Поиск оптимальных значений
Imin=1; Imax=1;
Jmin=1; Jmax=1;
fm=f(Imin,Jmin);
for i=1:id1_length
for j=1: id2_length
if f(i,j)==0;
fm=f(Imin,Jmin);
else
if fm>f(i,j)
fm=f(i,j);
Imin=i; Jmin=j;
end
end
end
end
fm
dopt1=x1(Imin)
dopt2=x2(Jmin)
% Графическое изображение зависимости: общие затраты от d1 и d2
figure;surfc(x1,x2,f');
shading interp
title('Общая стоимость теплообменника');
xlabel('d1'); ylabel('d2'); zlabel('Стоимость, $');
hText=text(0.5,0.1,fm, 'точка\newlineминимума');
set(hText, 'FontSize',[14],'Color',[1 0 0]);
hText=text(dopt1,dopt2,fm, '\downarrow');
set(hText,'Color',[1 0 0], 'FontSize',[20], 'VerticalAlignment', 'bottom');
end

Литература

1. Кафаров В.В., Мешалкин В.П., Гурьева Л.В. Оптимизация теплообменных процессов и систем.- М.: Энергоатомиздат, 1988.- 192 с.
2. Гультяев А.К. MATLAB 5.2. Имитационное моделирование в среде Windows: Практическое пособие. - СПб.: КОРОНА принт, 1999. - 288 с.
3. Мартынов Н.Н., Иванов А.П. MATLAB 5.х. Вычисления, визуализация, программирование. - М.: КУДИЦ-ОБРАЗ, 2000. - 336 с.


Поиск по сайту:

Система Orphus

Яндекс.Метрика