MATLAB.Exponenta
MATLAB и Simulink на русском
Технологии разработки и отладки
		сложных технических систем

Оптимальные и робастные системы управления\Mu-Analysis and Synthesis Toolbox

Веремей Е.И. Пособие "Mu-Analysis and Synthesis Toolbox"

В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу

Глава 1. Элементы теории оптимизации по нормам и

1.6. Алгебраическое матричное уравнение Риккати

В связи с особой значимостью уравнений Риккати в теории и практике и оптимизации, в данном параграфе даётся краткая сводка минимума алгебраических сведений, которые необходимы для понимания общих принципов теории и численных методов решения этих уравнений. Детальное освещение соответствующих вопросов можно, например, найти в работе [9].

Рассмотрим линейное пространство , элементами которого являются -мерные векторы с комплексными компонентами. Множество называется подпространством пространства , если сумма двух любых его векторов и произведения любого его вектора на произвольное комплексное число принадлежат . Любое такое множество является конечномерным линейным пространством, размерность которого меньше величины .

Любой вектор, содержащийся в подпространстве , может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов , составляющих линейно независимую систему. С использованием базисных векторов можно составить блочную матрицу

,

которую называют базисной матрицей подпространства . Задать базисную матрицу - значит задать подпространство , но не наоборот: базисная матрица определяется не единственным образом. Если - какая либо другая базисная матрица подпространства , то из свойств базисных векторов можно доказать существование и единственность такой невырожденной матрицы размера , что .

Пусть задана произвольная матрица размера с комплексными компонентами и пусть - подпространство в пространстве . Тогда множество

(1.6.1)

является подпространством в .

Пусть , т.е. - квадратная матрица. Подпространство называется инвариантным подпространством матрицы , если выполняется включение

. (1.6.2)

Пусть -мерное подпространство задано своей базисной матрицей . {Заметим, что столбцы матрицы , вообще говоря, не составляют базиса в подпространстве , однако составляют систему образующих векторов для }.

При этом можно ввести иное, эквивалентное (1.6.2), определение: подпространство с базисной матрицей называется инвариантным подпространством матрицы , если найдется такая квадратная матрица размера , что

. (1.6.3)

Матрица называется сужением на подпространство , причем её собственные значения одновременно являются собственными значениями матрицы . Следует заметить, что конкретный вид зависит от выбора базисной матрицы .

Для любой квадратной матрицы размера примерами инвариантных подпространств могут служить линейные оболочки произвольных совокупностей собственных векторов. Если матрица диагонализируемая, то все её инвариантные подпространства являются такими линейными оболочками. При этом матрица имеет инвариантные подпространства любой размерности .

Рассмотрим квадратичное матричное уравнение

, (1.6.4)

где - квадратная матрица размера , - квадратная матрица размера , и - прямоугольные матрицы размеров и соответственно. Необходимо найти неизвестную матрицу размера .

Введем в рассмотрение вспомогательную блочную матрицу

, (1.6.5)

составленную из матричных коэффициентов квадратичного уравнения (1.6.4). Она является квадратной с размером , причем её главные диагональные блоки - квадратные матрицы.

Матрица имеет инвариантные подпространства всех размерностей , удовлетворяющих неравенству . В частности, сюда относится и подпространство размерности , имеющее базисную матрицу . Согласно (1.6.3), найдется такая квадратная матрица размера , что выполнится равенство

. (1.6.6)

Представим базисную матрицу в следующем блочном виде

, - квадратная матрица размера .(1.6.7)

При этом справедливо следующее утверждение:

Лемма 1.6.1. Если блок в (1.6.7) не вырожден, то матрица

(1.6.8)

является решением квадратичного уравнения(1.6.4).

Доказательство. В соответствии с формулами (1.6.5) - (1.6.7) имеем два равенства

после умножения каждого из которых на матрицу справа с учётом (1.6.8) получим

, (1.6.9)

.(1.6.10)

Теперь умножим равенство (1.6.9) слева на и вычтем из результата (1.6.10) - это даст равенство

, (1.6.11)

что и требовалось доказать. ■

Возьмём другую базисную матрицу подпространства с разбиением на блоки аналогично (1.6.7). Тогда найдется такая невырожденная матрица размера , что , т.е. , , откуда следует, что квадратная -матрица , так же как и , является невырожденной. При этом справедливы равенства

, (1.6.12)

т.е. решение уравнения (1.6.4), представленное формулой (1.6.8), инвариантно по отношению к выбору базисной матрицы подпространства .

Нетрудно показать и обратное: каждое решение уравнения (1.6.4) определяет некоторое -мерное инвариантное подпространство матрицы , причём может быть представлено в виде (1.6.8) через любую базисную матрицу этого подпространства. Действительно, будем считать, что решение нам известно и введём обозначение

, (1.6.13)

что после подстановки в (1.6.11) даст равенство

.(1.6.14)

Вводя обозначение

и подставляя (1.6.14) в (1.6.13), получим

.

Объединяя последние два равенства, имеем

или , (1.6.15)

где - единичная матрица размера .

Из равенства (1.6.15) в соответствии с (1.6.3) следует, что подпространство с базисной матрицей

(1.6.16)

является инвариантным подпространством матрицы . Для этой базисной матрицы и для решения с очевидностью справедливо представление (1.6.8). Как показано выше, это представление будет справедливо и для любой другой базисной матрицы подпространства .

Таким образом, между решениями уравнения (1.6.4) и -мерными инвариантными подпространствами матрицы такими, что в любой их базисной матрице верхний блок размера не вырожден, установлено соответствие. Специальный выбор базисной матрицы в виде (1.6.16) показывает, что это соответствие взаимно однозначно: различным решениям отвечают различные инвариантные подпространства, и обратно.

Вообще говоря, выбор базисной матрицы подпространства для поиска решения по формуле (1.6.8) произволен. В частности, для любой диагонализируемой матрицы в качестве базиса может быть взята любая система из её собственных векторов. Однако следует отметить, что с вычислительной точки зрения такой выбор может оказаться не лучшим. В связи с этим при выполнении практических вычислений для решения уравнений вида (1.6.4) поиск базисной матрицы осуществляется специальным образом на основе так называемого QR-алгоритма, позволяющего свести матрицу к форме Шура, который описан в пособиях по базовой части пакета MATLAB и по ППП Control Systems Toolbox.

Необходимо заметить, что при рассмотрении квадратичного уравнения (1.6.4) следует различать две стандартные ситуации:

а) достаточно построить любое решение этого уравнения;

б) нужно найти некоторое специальное его решение.

При поиске произвольного решения на выбор базисной матрицы подпространства не накладывается никаких ограничений. В частности, она может быть составлена из собственных векторов, соответствующих произвольным собственным числам матрицы .

Если требуется найти специальное решение уравнения (1.6.4), то необходимо указать, какие собственные числа матрицы отвечают инвариантному подпространству, определяемому заданными свойствами искомого решения . Тогда базисная матрица составляется из собственных векторов, соответствующих этим собственным значениям.

Рассмотрим частный вариант квадратичного матричного уравнения вида (1.6.4) - уравнение Риккати

, (1.6.16)

где , , - заданные квадратные матрицы размера с действительными компонентами, причем и - симметрические.

Для поиска решения в соответствии с общим подходом, изложенным выше, сформируем вспомогательную матрицу размера в соответствии с формулой (1.6.5):

.(1.6.17)

Вспомогательная матрица , задаваемая формулой (1.6.17), является гамильтоновой. Спектр гамильтоновой матрицы обладает следующей особенностью: если в его состав входит число , то он обязательно включает и число . Для доказательства этого утверждения введём в рассмотрение матрицу

где - единичная матрица размера . Нетрудно проверить, что матрица обладает следующими свойствами:

, .

При этом выполняются равенства , т.е. матрица подобна матрице , откуда и следует симметричное расположение собственных значений этих матриц относительно мнимой оси.

В дальнейшем будем считать, что матрицы , , таковы, что матрица не имеет собственных значений на мнимой оси. Но тогда, в соответствии с доказанным свойством, половина её спектра принадлежит открытой левой полуплоскости, а половина - открытой правой полуплоскости. При этом устойчивые собственные значения (находящиеся в полуплоскости ) однозначно определяют -мерное инвариантное подпространство матрицы , которое в дальнейшем будем называть устойчивым подпространством этой матрицы и обозначать в виде .

Для подпространства сформируем базисную матрицу, состоящую из собственных векторов матрицы , соответствующих собственным значениям, находящимся в открытой левой полуплоскости. Эта матрица может быть разделена на два блока:

.

Заметим, что множество векторов таких, что хотя бы для одного вектора называется образом матрицы и обозначается символом . Тогда для устойчивого подпространства справедливо равенство

.

Если матрица является невырожденной, то вводя обозначение , можно представить устойчивое подпространство в виде:

.

Обратим внимание на тот факт, что при условии матрица определяется однозначно заданием матрицы с указанными выше свойствами. Иными словами, определено однозначное отображение , которое будем обозначать в виде матричной функции : .

Область определения этой функции будем обозначать в виде - это множество гамильтоновых матриц размера , которые не имеют собственных значений на мнимой оси и для которых .

Основные утверждения, связанные с квадратичным уравнением (1.6.16), которые мы приведём без доказательств, выглядят следующим образом:

Лемма 1.6.2. Пусть и . Тогда матрица является симметрической и удовлетворяет уравнению Риккати (1.6.16), причём матрица не имеет собственных значений в правой полуплоскости.

Теорема 1.6.1. Пусть матрица задана в форме

, (1.6.18)

где - знакоположительная, а - положительно определенная симметрическая матрица. Будем считать, что пара является стабилизируемой, а пара - обнаруживаемой. Тогда . Если при этом и , то - знакоположительная симметрическая матрица, а матрица является гурвицевой. Если же пара наблюдаемая, то симметрическая матрица положительно определена.

В заключение заметим, что при практической реализации методов поиска положительно определённых решений уравнений Риккати, как и для квадратичных уравнений общего вида, поиск базисной матрицы эффективно осуществляется на базе QR-алгоритма, позволяющего свести матрицу к блочно-диагональной форме Шура.

В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу


Поиск по сайту:

Система Orphus

Яндекс.Метрика