MATLAB.Exponenta
MATLAB и Simulink на русском
Технологии разработки и отладки
		сложных технических систем

Оптимальные и робастные системы управления\Mu-Analysis and Synthesis Toolbox

Веремей Е.И. Пособие "Mu-Analysis and Synthesis Toolbox"

В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу

Глава 1. Элементы теории оптимизации по нормам и

1.4. Спектральный подход к решению задач оптимизации
для SISO объектов

В данном подразделе продолжается рассмотрение двух поставленных выше содержательных задач (1.23) и (1.31) теории управления, которые могут быть сведены к задачам оптимизации по нормам пространств  и , а также спектральных методов их решения, основанных на -теории. Результирующие формулы метода решения первой задачи впервые были опубликованы в статье [2], однако здесь предлагается иной путь их вывода. Метод решения второй задачи ранее не публиковался, хотя в статье [3] были указаны основные направления для его формирования.

Заметим, что в отличие от универсального подхода, основанного на решении уравнений Риккати, предлагаемые ниже методы используют спектральные особенности синтезируемых систем. В ряде частных ситуаций это позволяет существенно упростить анализ и поиск оптимальных решений.

Особую роль при этом играет снижение вычислительных затрат при адаптивной реализации оптимальных законов управления в реальном масштабе времени. Предлагаемый подход может послужить основой  для проектирования систем управления с использованием нейронных сетей, нечёткой логики, прогнозирующих моделей и других эффективных средств, базирующихся на современных компьютерных технологиях.

1.4.1. Простейшая задача оптимизации по норме

Вначале обратимся к задаче (1.23) оптимального синтеза по норме пространства , которая эквивалентна задаче среднеквадратичной оптимизации (1.16). Предварительно заметим, что точная нижняя граница функционала в задаче (1.16), а, следовательно - и в задаче (1.23), как известно, достигается.

Итак, пусть задана LTI модель SISO объекта управления

,(1.4.1)

где - случайный стационарный процесс, обладающий эргодическим свойством, имеющий нулевое математическое ожидание и заданную спектральную плотность

,(1.4.2)

и - гурвицевы полиномы.

Введём уравнение стабилизирующего регулятора

,(1.4.3)

и будем характеризовать качество процессов управления в замкнутой системе (1.4.1),(1.4.3) среднеквадратичным функционалом

.(1.4.4)

Учитывая эквивалентность указанных задач, будем искать оптимальный регулятор вида (1.4.3), решающий задачу

,(1.4.5)

где

(1.4.6)

- взвешенная -норма передаточной функции , удовлетворяющей условию .

С учётом формул

, ,(1.4.7)

минимизируемый функционал можно представить в явной зависимости от передаточной функции искомого регулятора:

(1.4.8)

.

Однако отметим, что непосредственный поиск минимума функционала, представленного в виде (1.4.8) затруднен в силу его нелинейной зависимости отфункции .

Отмеченная трудность в теории среднеквадратичного синтеза обычно преодолевается с помощью выполнения параметризации множества (1.17), определяющего совокупность допустимых регуляторов. Под параметризацией понимают введение тем или иным способом взаимно однозначного соответствия между элементами указанного множества и элементами более простого множества функций-параметров .

В настоящее время широко используются три способа параметризации, соответственно указанные в работах [4], [5], [6]. Здесь мы воспользуемся параметризацией, принятой в работе [6], существо которой состоит во введении варьируемых функций :

.(1.4.9)

Здесь и - любые полиномы, которые одновременно не обращаются в тождественныенули и обеспечивают гурвицевость полинома

.(1.4.10)

Установим взаимно однозначное соответствие между выбором функций-параметров и передаточных функций регуляторов вида (1.4.3).

Прежде всего, отметим, что в силу (1.4.7) выполняется тождество

,

которое при заданной функции совместно с (1.4.9) даст линейную систему

(1.4.11)

имеющую единственное решение

, .(1.4.12)

Поскольку, согласно (1.4.7), , из (1.4.12) имеем

,(1.4.13)

откуда однозначно следует, что

.(1.4.14)

Таким образом, формулы (1.4.13), (1.4.14) позволяют по заданной функции-параметру однозначно определить передаточную функцию регулятора и, наоборот, по заданной функции однозначно найти .

Введем в рассмотрение множество дробно-рациональных функций комплексной переменной , которые не имеют полюсов на мнимой оси. Рассмотрим его подмножество , состоящее из строго правильных рациональных дробей с гурвицевыми знаменателями, а также множество рациональных дробей с гурвицевыми знаменателями, определяемое формулой

.(1.4.15)

И, наконец, введём в рассмотрение множество

.(1.4.16)

Лемма 1.4.1. Формулы (1.4.13), (1.4.14) определяют взаимно однозначное соответствие между множествами и .

Доказательство. Возьмём произвольную функцию . Поскольку, согласно (1.4.15), , то после подстановки (1.4.14) в (1.4.12), согласно (1.4.7): , откуда следует, что .

Обратно, пусть задана любая передаточная функция . Тогда, аналогично, из условий следуют условия . Кроме того, в силу гурвицевости знаменателей дробей и , из тождества (1.4.9) следует гурвицевость знаменателя функции-параметра. Следовательно . ■

Используя формулы (1.4.12), представим минимизируемый функционал (1.4.8) в явной зависимости от функции-параметра :

(1.4.17)

.

Здесь и в дальнейшем знак <-< над рациональной дробью означает замену её аргумента <> на <>.

Отметим, что в исходной решаемой здесь задаче (1.4.5), допустимое множество может быть с очевидность сужено до , поскольку ему с очевидностью принадлежит решение, согласно (1.4.16).

Тогда, в силу установленного взаимно однозначного соответствия между множествами и , определяемого формулами (1.4.13), (1.4.14), задача (1.4.5) эквивалентна задаче

,(1.4.18)

о поиске оптимальной функции-параметра

. (1.4.19)

Для нахождения оптимальной функции по исходным данным, преобразуем подынтегральное выражение в последнем интеграле формулы (1.4.17):

.

Представим полученное выражение в виде

,(1.4.20)

где и - рациональные дроби с гурвицевыми знаменателями. Приравнивая правые части двух выражений, получим

;(1.4.21)

; (1.4.22)

.(1.4.23)

Выполняя факторизацию

,(1.4.24)

где - гурвицев полином, на основании (1.4.22) можно утверждать, что функция в принципе может быть выбрана в двух вариантах:

а) ;б) .(1.4.25)

Принимая первый вариант, из (1.4.23) получим

или .(1.4.26)

Заметим, что если дляфункции принять вариант (1.4.25б), то в знаменателе для функции получим , что не удовлетворяет требованию её гурвицевости.

И, наконец, подставляя (1.4.26) в (1.4.21) с учётом (1.4.24) получим

.

В итоге, получено тождество (1.4.20), где

,,, (1.4.27)

причем гурвицев полином - результат факторизации (1.4.24).

С учетом (1.4.20), минимизируемый функционал (1.4.17) принимает вид

.

Поскольку второе слагаемое здесь не зависит от функции , оптимальное решение (1.4.19) задачи (1.4.18) одновременно является решением задачи

,(1.4.28)

где

или, с учётом (х.1.19):

.(1.4.29)

Для решения поставленной задачи преобразуем минимизируемый функционал. После подстановки (1.4.27) имеем:

.(1.4.30)

Обратим внимание на то, что тривиального решения задачи, обеспечивающего нулевое значение функционала, на множестве нет. Действительно, полагая

получим, однако , поскольку все корни полинома расположены в правой полуплоскости.

Продолжим преобразование функционала :

, поскольку в силу.

Вводя обозначения

,, (1.4.31)

получим

.

Разложим первое слагаемое под нормой в сумму ортогональных элементов с помощью теплицева и ганкелева операторов с индексами M:

.(1.4.32)

Последнее равенство имеет место, поскольку в силу того, что , .

Теперь найдём функции и . С этой целью представим рациональную дробь согласно (1.4.31) в следующем виде:

, (1.4.33)

откуда следует, что

, .(1.4.34)

В соответствии с (1.4.33), найдем полиномы и . С этой целью, приводя правую часть (1.4.33) к общему знаменателю, получим:

.

Обозначая через ()корни полинома (будем считать, что все они являются простыми), отсюда имеем:

,.(1.4.35)

Заметим, что в соответствии с формулой (1.4.24) выполняются равенства

, ,

из которых следует при условии , что . Подставим полученную формулу в правую часть (1.4.35):

.

Последнее равенство определяется формулой (1.4.10). И, наконец, подставляя результат преобразования правой части в (1.4.35), получим:

,,

откуда следует

,. (1.4.36)

Таким образом, получены значения полинома ()-й степени в различных комплексных точках. Тем самым полином R(s) определён однозначно и может быть явно представлен в зависимости от исходных данных с помощью интерполяционной формулы Лагранжа:

,(1.4.37)

где .

Поскольку полином известен, из (1.4.34) и (1.4.33) следует

,. (1.4.38)

Теперь возвратимся к минимизируемому функционалу (1.4.32):

.

Поскольку второе слагаемое не зависит от параметра и определяется лишь исходными данными задачи, то минимум функционала с очевидностью обеспечивается равенством нулю первого слагаемого. Покажем, что это слагаемое можно обратить в нуль с помощью функции из множества . Действительно из условия имеем

или

. (1.4.39)

Обратим внимание на то, что согласно (1.4.35)

,,

а следовательно числитель функции нацело делится на полином . Тогда, поскольку полиномы и являются гурвицевыми, то и знаменатель - гурвицев полином. Кроме того, при функционал принимает конечное значение , т.е. выполняются условия . Следовательно, функция (1.4.39) принадлежит множеству .

В итоге получено решение задачи (1.4.19), причём

. (1.4.40)

Зная оптимальную функцию-параметр , по формуле (1.4.13) можно найти передаточную функцию оптимального регулятора, решающего исходную задачу (1.4.5):

.

Здесь при проведении преобразований использованы формулы (1.4.10) и (1.4.24). В результате имеем следующее выражение для передаточной функции оптимального регулятора

,(1.4.41)

причём деление на полином в числителе и знаменателе осуществляется нацело (без остатка).

Получим выражение для характеристического полинома замкнутой оптимальной системы:

или

.(1.4.42)

Поскольку и - гурвицевы, то и является гурвицевым полиномом.

Найдём значение минимизируемого функционала для оптимальной замкнутой системы. Прежде всего, запишем выражения для передаточных функций и . В соответствии с (1.4.7):

;

.

При этом

, поскольку .

Подставляя полученную формулу в (1.4.8), получим

.(1.4.43)

Обратим внимание на то, что вспомогательный полином (1.4.37), передаточная функция оптимального регулятора (1.4.41), а также минимальное значение (1.4.43) среднеквадратичного функционала не зависят от выбора полиномов и в формуле (1.4.9) и никак не связаны с ними.

На основании изложенного выше сформулируем алгоритм решения задачи - оптимального синтеза для SISO объекта.

Алгоритм 1.4.1. В качестве исходных данных примем полиномы и в модели (1.4.1), гурвицевы полиномы и в спектральной плотности (1.4.2) внешнего возмущения, а также значение весового множителя в среднеквадратичном функционале (1.4.4). Тогда для нахождения передаточной функции оптимального регулятора вида (1.4.3) необходимо:

1. Выполнить факторизацию полинома

,(1.4.44)

где - гурвицев полином, а - полином, все корни которого расположены в правой полуплоскости симметрично корням .

2. Построить вспомогательный полином по формуле

,(1.4.45)

где , () - корни полинома (предполагается, что все они являются простыми).

3. Сформировать числитель и знаменатель передаточной функции оптимального регулятора по формулам

;(1.4.46)

. (1.4.47)

Деление на полином здесь выполняется нацело (без остатка).

4. Определить минимальное значение среднеквадратичного функционала, обеспечиваемое регулятором :

.(1.4.48)

1.4.2. Простейшая задача оптимизации по норме

Теперь перейдём к задаче (1.31) оптимального синтеза по норме пространства , которая эквивалентна задаче (1.26) о поиске гарантирующего среднеквадратичного оптимального регулятора.

Как и для предшествующей задачи, будем рассматривать объект управления с математической моделью (1.4.1), где - случайный стационарный процесс, обладающий эргодическим свойством и имеющий нулевое математическое ожидание. Будем считать, что спектральная плотность этого процесса не задана, однако известно, что она принадлежит множеству

.(1.4.49)

Введём в рассмотрение стабилизирующие регуляторы вида (1.4.3) исреднеквадратичный функционал

, (1.4.50)

который является частным случаем по отношению к (1.4.4) при .

Задача синтеза гарантирующего среднеквадратичного оптимального регулятора имеет вид

.(1.4.51)

Вместо (1.4.51) будем искать оптимальный регулятор вида (1.4.3), решающий эквивалентную задачу

.(1.4.52)

Представим полином в уравнении (1.4.1) объекта в виде

,(1.4.53)

где - гурвицев полином, а - полином, все корни которого, ,расположены в полуплоскости .

Будем считать, что , т.е. что полином имеет, по крайней мере, один правый корень.

В соответствии с (1.4.7) в данном случае имеем для замкнутой системы , т.е. минимизируемый функционал принимает вид

.(1.4.54)

Как и для предшествующей задачи, осуществим параметризацию множества функциями-параметрами (1.4.9). Используя формулы (1.4.7), представим минимизируемый функционал (1.4.54) в явной зависимости от функции-параметра :

. (1.4.55)

Нетрудно убедиться в том, что задача (1.4.52) эквивалентна задаче о поиске оптимальной функции-параметра :

, ,(1.4.56)

где .

Для решения поставленной задачи могут быть привлечены различные подходы, как во временной, так и в частотной области. В частности, следуя [7], преобразуем минимизируемый функционал:

,

поскольку . Вводя обозначения

и ,

приведём задачу (1.4.56)к виду

, ,

что позволяет воспользоваться теоремой Нехари, в соответствии с которой , где - ганкелев оператор с индексом . При этом решение исходной задачи (1.4.56) можно получить, решая два вспомогательных уравнения Ляпунова [4], [7].

Однако здесь можно применить и иной подход, непосредственно использующий спектральные свойства оптимальной замкнутой системы.

Покажем, что функция-параметр , являющаяся решением вспомогательной задачи (1.4.56), определяется равенством

, (1.4.57)

где - корень квадратный из максимального собственного значения положительно определённой эрмитовой матрицы

, где , ,(1.4.58)

- решение задачи интерполяции Неванлинны-Пика с исходными данными .

Действительно, зададим некоторое вещественное число и попытаемся найти такую функцию , чтобы имело место неравенство

. (1.4.59)

Поставленная промежуточная задача может быть трансформирована к известной эквивалентной задаче интерполяции Неванлинны-Пика [4]. С этой целью введём в рассмотрение дробно-рациональные функции

. (1.4.60)

Заметим, что поскольку числа - это корни полинома , а функции не имеют полюсов в правой полуплоскости, то с учётом формулы (1.4.10), определяющей полином , имеем

, .

Задача Неванлинны-Пика состоит в поиске такой функции , которая удовлетворяет двум условиям:

а) ;(1.4.61)

б) , .

Искомая функция может быть определена за конечное число шагов с помощью простого вычислительного алгоритма, приведенного в [4]. При этом, по теореме Пика, необходимым и достаточным условием существования решения является неотрицательная определённость эрмитовой матрицы Пика

.

Если для заданного числа указанное условие выполнено и найдена функция , удовлетворяющая (1.4.61), то из соотношения (1.4.60) однозначно определяется функция, которая обеспечивает выполнение неравенства (1.4.59):

.(1.4.62)

Обратим внимание на то, что в соответствии с формулами (1.4.61б) и (1.4.10) числитель этой функции нацело делится на полином , но тогда знаменателем функции является гурвицев полином , т.е. .

Очевидно, что если найти такое минимальное число , для которого существует функция (1.4.62), то тем самым будет найдено решение задачи (1.4.56) о минимуме функционала (1.4.55). Но это эквивалентно вопросу о минимальном числе , для которого выполнимы условия (1.4.61). Ответ на этот вопрос непосредственно следует из теоремы Пика: искомое минимальное число есть корень квадратный из максимального собственного значения положительно определённой эрмитовой матрицы (1.4.58), что и требовалось показать.

Замечание. Решение задачи интерполяции Неванлинны-Пика является равномерно пропускающим (all-pass), т.е. .

Для формирования передаточной функции искомого регулятора, являющегося решением задачи (1.4.52), подставим (1.4.57) в формулу (1.4.13):

,

откуда с учётом имеем

,(1.4.63)

где делимость нацело на полином непосредственно следует из формулы(1.4.61б).

Рассмотрим передаточную функцию оптимальной замкнутой системы от возмущения к регулируемой переменной, полагая , , . При этом , где - характеристический полином замкнутой системы, - числитель передаточной функции. Тогда =, откуда следует выполнение условия , т.е. передаточная функция является равномерно пропускающей (all-pass).

На основании приведенных рассуждений сформулируем алгоритм решения задачи - оптимального синтеза для SISO объекта.

Алгоритм 1.4.2. В качестве исходных данных примем полиномы и в модели (1.4.1) объекта управления. Тогда для нахождения передаточной функции оптимального регулятора вида (1.4.3) необходимо:

1. Представить полином в виде

,(1.4.64)

где - гурвицев полином, а - полином, все корни которого, ,расположены в полуплоскости .

2. Найти комплексные числа и построить вспомогательные матрицы

, , .(1.4.65)

3. Сформировать эрмитову матрицу и найти корень квадратный из её максимального собственного значения.

4. Решить задачу Неванлинны-Пика для исходных данных

; , (1.4.66)

получая при этом функцию , удовлетворяющую условиям и , где и - полиномы.

5. Сформировать передаточную функцию оптимального регулятора

,(1.4.67)

где деление на полином выполняется без остатка.

В заключение данного подраздела заметим, что спектральный подход, применённый здесь для решения простейших задач и , весьма эффективен в двух аспектах: во-первых, он позволяет представить оптимальные решения в аналитической форме, что упрощает исследование их свойств, а во-вторых, он позволяет существенно сократить объём вычислительных операций для численного нахождения решений.

Однако, к сожалению, эффективность этого подхода существенно падает при переходе к задачам среднеквадратичного синтеза с несколькими управлениями. Хотя спектральные методы для этих задач также разработаны, в практических ситуациях для вычислений лучше использовать универсальные методы, базирующиеся на решении уравнений Риккати.

В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу


Поиск по сайту:

Система Orphus

Яндекс.Метрика