MATLAB.Exponenta
MATLAB и Simulink на русском
Технологии разработки и отладки
		сложных технических систем

Оптимальные и робастные системы управления\Mu-Analysis and Synthesis Toolbox

Веремей Е.И. Пособие "Mu-Analysis and Synthesis Toolbox"

В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу

Глава 1. Элементы теории оптимизации по нормам и

1.3. Линейные операторы в гильбертовом пространстве

Для дальнейшего рассмотрения задач линейного синтеза типа (1.23) и (1.31) необходимо ввести в рассмотрение вспомогательные линейные операторы в гильбертовых пространствах и .

Пусть в некотором гильбертовом пространстве с нормой задан линейный оператор . Говорят, что этот оператор ограничен в , если существует такое число , что

, .

Наименьшее из таких чисел называют нормой оператора , причём из анализа известно, что

, (1.32)

Рассмотрим гильбертово пространство элементов и банахово пространство элементов .

Введём в рассмотрение оператор Лорана с индексом F, который будем обозначать , отображающий в по правилу

, , , . (1.33)

В соответствии с (1.32) нетрудно получить норму этого оператора:

Поскольку существует такой элемент с единичной нормой (-функция на частоте супремума от ), на котором достигается экстремум, то в последнем соотношении выполняется равенство, и мы имеем

. (1.34)

Напомним, что пространство может быть разложено в прямую сумму ортогональных подпространств

.

Введём в рассмотрение операторы проектирования (проективные операторы) элемента на указанные ортогональные подпространства:

,

и соответствующие проекции

, .

И, наконец, введём в рассмотрение теплицев и ганкелев операторы и с индексом , действующими из в и соответственно. Эти операторы представляют собой суперпозицию оператора Лорана с индексом и соответствующего проективного оператора и :

, .

Иначе говоря, отображения в и в , определяемые теплицевым и ганкелевым операторами, осуществляются по следующим правилам:

, , (1.35)

где , .

Пример. Пусть . Найдём результат отображения любого элемента в подпространства и с помощью теплицева и ганкелева операторов с индексом , т.е. найдём элементы и . Заметим, что справедливо представление

где имеет знаменатель, совпадающий со знаменателем , и является правильной дробью, следовательно . Но , и в силу единственности приведенного разложения мы получим искомые проекции, если найдём число и дробь. Для их поиска заметим, что, откуда следует, следовательно . В итоге справедливо представление

,

где первое слагаемое принадлежит , а второе - . Тогда

, ,

т. е. - проекция на , - проекция на .

В заключение, приведём известную формулу, которая потребуется нам в дальнейшем. Пусть мы имеем некоторое гильбертово пространство , где и - его взаимно ортогональные подпространства. Тогда для любых и имеет место равенство

, (1.36)

где норма индуцирована скалярным произведением в , т. е. , .

Доказательство. Согласно определению скалярного произведения . Но из условия следует, что выполняются равенства или , что и требовалось показать.

В частности, пусть, . Тогда, в соответствии с (1.36)

, (1.37)

Можно привести также иное доказательство полученного равенства (1.37), предварительно заметив, что для любых двух комплексных чисел и справедливо равенство , что легко проверяется. Тогда, в соответствии с формулой (1.2) имеем

поскольку в силу что соответствует (1.36).

В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу


Поиск по сайту:

Система Orphus

Яндекс.Метрика