MATLAB.Exponenta
MATLAB и Simulink на русском
Технологии разработки и отладки
		сложных технических систем

Оптимальные и робастные системы управления\Mu-Analysis and Synthesis Toolbox

Веремей Е.И. Пособие "Mu-Analysis and Synthesis Toolbox"

В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу

Глава 1. Элементы теории оптимизации по нормам и

1.2. Задачи среднеквадратичного и гарантирующего
оптимального синтеза

Природа множеств и с очевидностью определяет сферу приложений теории оптимизации в пространствах Харди рассматриваемого типа. Это связано с тем обстоятельством, что дробно-рациональные функции широко используются в рамках преобразования Лапласа как математические модели линейных стационарных динамических систем (LTI-систем). В качестве последних могут выступать объекты управления, регуляторы, приводы, измерительные устройства и другие динамические элементы, принятые в линейном приближении. При этом рассматриваемая здесь теория имеет непосредственный выход в сферу анализа и синтеза линейных систем управления с обратной связью. Более того, оказывается, что широкий круг задач оптимизации таких систем, рассматриваемых в классической теории автоматического регулирования, укладывается в рамки оптимизации на множествах и .

В частности, рассмотрим следующую задачу среднеквадратичного синтеза в SISO-постановке.

Пусть задан объект управления с математической моделью

, (1.12)

где - соответственно регулируемая величина, управление и возмущение, , - полиномы от оператора дифференцирования с постоянными коэффициентами, , . Будем считать, что - стационарный эргодический случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и заданной спектральной плотностью - четной правильной дробно-рациональной функцией:

;

;

.

Будем также считать, что спектральная плотность допускает факторизацию, т.е. может быть представлена в виде

, (1.13)

где , , , - гурвицевы полиномы.

Поставим задачу о поиске линейного регулятора в виде

, , (1.14)

обеспечивающего гурвицевость характеристического полинома замкнутой системы (1.12), (1.14) и доставляющего минимум среднеквадратичному функционалу

, (1.15)

где - заданная постоянная, , - полиномы от .

Поскольку выбор регулятора (1.14) в минимальной реализации однозначно определяется его передаточной функцией , в дальнейшем будем отождествлять допустимые множества регуляторов вида (1.14) и их передаточных функций. При этом поставленная задача среднеквадратичного синтеза принимает вид

, (1.16)

где

. (1.17)

Покажем, что задача (1.16) - это задача оптимизации в гильбертовом пространстве . С этой целью получим явное выражение минимизируемого функционала через аргумент , используя известное равенство Парсеваля

, (1.18)

Здесь - передаточная функция замкнутой системы от к , а - от к , причем в силу (1.12), (1.14) имеем

, . (1.19)

Введем в рассмотрение обобщенную передаточную функцию замкнутой системы, определяя её как дробно-рациональную функцию с гурвицевым знаменателем , удовлетворяющую тождеству

. (1.20)

Заметим, что для любого такая функция существует в силу (1.17), (1.19) и обратно: для любой такой функции найдется (1.17), удовлетворяющая (1.19), если объект (1.12) является стабилизируемым. С учетом (1.20) имеем

, (1.21)

где

, (1.22)

в силу (1.13). Поскольку (согласно (1.22), (1.20) и (1.19)), то на основании (1.21), (1.16) и с учетом гурвицевости числителя и знаменателя дроби , задача (1.16) может быть представлена в виде

, (1.23)

где .

Очевидно, что (1.23) является типичным примером задач оптимизации в гильбертовом пространстве .

Теперь рассмотрим другую классическую задачу, которая тесно связана с предшествующей, о построении гарантирующего регулятора для SISO-задачи оптимального синтеза с неопределенностью в задании спектральной плотности возмущения.

Как и в предшествующем случае рассмотрим объект (1.12), допустимые регуляторы вида (1.14), а также функционал (1.15), характеризующий качество функционирования замкнутой системы. Однако в отличие от (1.13) будем считать, что спектральная плотность не задана однозначно, но известна ее принадлежность множеству чётных дробно-рациональных функций с единичной дисперсией

. (1.24)

При этом в соответствии с (1.18), функционал (1.14) зависит от двух функций: и , и возникает задача о поиске гарантированной оценки

, (1.25)

а также гарантированного решения

. (1.26)

Покажем, что эта задача сводится к оптимизации в банаховом пространстве .

Как следует из (1.21),

, (1.27)

где выражение определяется тождеством (1.20) с учетом обозначений (1.19). Отсюда имеем, что для любых и

, (1.28)

следовательно

, (1.29)

ибо - значение функционала для некоторых конкретных функций и .

Более того, покажем, что имеет место равенство

, (1.30)

или что величина является не просто нижней границей для функционала

на множестве в силу (1.29), а его точной нижней границей на этом множестве.

Действительно, предположим, что гарантирующее решение (1.26) и гарантированная оценка (1.24) найдены. Тогда имеет место равенство

,

где - самая "плохая" для данного решения спектральная плотность. Но независимо от того, как построена передаточная функция , одной из самых "плохих" (она не обязательно единственная) будет спектральная плотность из , являющаяся -функцией на частоте , которая определяется формулой

.

При этом справедливо равенство

.

Значит, каким бы ни был гарантирующий регулятор, искомая оценка совпадает с супремумом функции на интервале . Следовательно, величина достигается функционалом на множестве в точке .

Но тогда (1.25), (1.26) трансформируется в следующую оптимизационную задачу

,

которая с очевидностью сводится к задаче

, (1.31)

где .

Замечание. В доказательстве равенства (1.30) мы допустили, что -функция принадлежит множеству . В действительности это не так, поскольку - это множество чётных дробно-рациональных функций. Тем не менее можно показать, что -функция может быть сколь угодно точно аппроксимирована элементами этого множества, а следовательно можно сколь угодно точно обеспечить величину для функционала на множестве .

В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу


Поиск по сайту:

Система Orphus

Яндекс.Метрика