MATLAB è Simulink íà ðóññêîì

https://hub.exponenta.ru/

Оптимальные и робастные системы управления\Mu-Analysis and Synthesis Toolbox

Веремей Е.И. Пособие "Mu-Analysis and Synthesis Toolbox"

В оглавление книги \ К следующему разделу

Глава 1. Элементы теории оптимизации по нормам и

Одной из главных особенностей современных формализованных подходов к анализу и синтезу систем управления является ориентация на широкий спектр математических оптимизационных задач в конечномерных или бесконечномерных пространствах. На базе этих задач формируются те аналитические инструменты, с помощью которых обеспечивается достижение содержательных практических результатов, ведущих к единой глобальной цели - построению законов управления, удовлетворяющих всей совокупности требований, предъявляемых к проектируемой системе.

В рамках формализованных подходов искомые элементы проектируемой системы, а точнее - их математические модели, определяются как результат решения задач подобного типа. Это существенно отличает современную идеологию от классической теории автоматического управления, где формализованные математические методы применялись, как правило, лишь на этапе анализа какого-либо проектного решения.

Основу оптимизационных задач составляет формализация представления о качестве функционирования систем управления. В первую очередь - это построение некоторой системы количественных характеристик качества функционирования, величины которых зависят от принимаемых проектных решений. Такими характеристиками могут служить различные функционалы, задаваемые в метрических пространствах искомых элементов.

Следует отметить, что качество функционирования современных систем управления может быть характеризовано исключительно широким спектром различных функционалов, в зависимости от конкретных задач, объектов управления и условий их эксплуатации. Если пространства искомых элементов нормированы, то в ряде ситуаций их нормы удобно использовать как функционалы качества.

В данной главе рассматриваются оптимизационные задачи, где в качестве минимизируемых функционалов используются матричные нормы передаточных матриц замкнутых систем. Величины этих норм позволяют судить о том, насколько велики выходные сигналы в системе для определенных классов сигналов на ее входе. Если этими сигналами являются внешние возмущения, отклоняющие движение объекта от желаемого, то качество процесса стабилизации будет тем выше, чем сильнее они подавляются системой. В свою очередь, качество подавления определяется величинами норм передаточной матрицы: чем меньше норма, тем лучше подавляются возмущения. При этом проблема оптимальной стабилизации может быть трактована как проблема такого выбора обратной связи (регулятора), чтобы соответствующая норма передаточной матрицы замкнутой системы была минимальной.

1.1. Простейшие задачи оптимизации
в гильбертовом и банаховом пространствах

Введем в рассмотрение множество дробно-рациональных функций комплексной переменной , которые не имеют полюсов на мнимой оси. Очевидно, что такое множество является линейным пространством над полем комплексных чисел. Введем на множестве понятие скалярного произведения его элементов и :

, (1.1)

а также индуцированной им нормы элемента

, (1.2)

и метрики, соответствующей этой норме

. (1.3)

В дальнейшем пространством будем называть множество указанных выше функций с конечными нормами

. (1.4)

Очевидно, что множество составляют строго правильные дроби, не имеющие полюсов на мнимой оси. Нетрудно показать, что в метрике (1.3) пространство является полным, а поскольку метрика определена нормой (1.2), то оно является банаховым. С учетом вида произведения (1.1) , пространство унитарное, а его бесконечномерность свидетельствует о том, что - гильбертово пространство.

Введем в рассмотрение подпространство пространства , состоящее из всех дробно-рациональных строго правильных функций, аналитических в правой полуплоскости. Эта совокупность является замкнутым подпространством в , которое мы в дальнейшем будем обозначать .

Наряду с подпространством введем в рассмотрение другое подмножество пространства , состоящее из всех строго правильных функций, аналитических при условии . Возьмем любую функцию из этого подмножества и любую функцию и покажем, что . Действительно,

, (1.5)

где - полуокружность радиуса с центром в точке , расположенная в правой полуплоскости, - замкнутый контур, образованный этой полуокружностью и отрезком мнимой оси .

Заметим, что в силу аналитичности функции в области, ограниченной замкнутым контуром , имеем для любого числа . Кроме того, из леммы Жордана следует, что . Подставляя оба равенства в (1.5), получим , что и требовалось показать.

В соответствии с (1.5) подмножество пространства , состоящее из всех его элементов аналитических в замкнутой левой полуплоскости, которое в дальнейшем будем обозначать , является ортогональным дополнением к подпространству . Итак, пространство разлагается в прямую сумму ортогональных подпространств

. (1.6)

Теперь осуществим нормировку пространства иным способом, вводя норму следующим соотношением

. (1.7)

При этом множество элементов из , удовлетворяющих условию

, (1.8)

будем обозначать . Пространство с очевидностью состоит из правильных (но не строго) дробно-рациональных функций, аналитических в правой полуплоскости. Согласно принципу максимума модуля аналитической функции, при введении нормы элементов множества можно перейти от экстремума по замкнутой правой полуплоскости к экстремуму по мнимой оси. Действительно, максимум модуля функции, аналитической в некоторой области, может достигаться только на её границе. А на расширенной комплексной плоскости границей правой и левой полуплоскостей в рассматриваемом случае служит мнимая ось.

Итак, норма элементов пространства может быть введена равенством

. (1.9)

которое эквивалентно (1.7).

Нетрудно проверить, что пространство является полным в смысле сходимости по норме, т.е. банаховым (скалярное произведение в данном случае не определено).

Норма вида (1.9) может быть введена для всех элементов подпространства пространства , которые являются правильными (но не строго) дробями. Обозначим это нормированное пространство через и заметим, что для всех его элементов выполняется условие (1.8), поскольку множество не содержит дробей, имеющих полюса на мнимой оси.

Введенные выше пространства и являются частными примерами пространств Харди [1].

В дальнейшем будем рассматривать задачи оптимизации в пространствах и , что требует некоторого уточнения.

Пусть мы имеем два элемента и из , причем - независимый элемент, а зависит от выбора : . Тогда под задачей оптимизации в пространствах и будем понимать поиск такого элемента , при котором принадлежит или и соответствующая норма элемента минимальна. В более строгой постановке задачи оптимизации в указанных пространствах можно представить в следующем виде:

, (1.10)

Приведенный вариант постановки задач оптимизации (1.10) можно трактовать как классический, поскольку, как это будет показано ниже, к нему можно свести целый ряд известных задач оптимизации динамических систем в области устойчивости линейного приближения.

Однако возможны и другие варианты постановки, определяемые более жесткими ограничениями на выбор варьируемого элемента :

(1.11)

где () - подмножества , определяемые некоторыми дополнительными требованиями (помимо аналитичности в правой полуплоскости) к результату оптимизации. Указанными требованиями могут быть, например, ограничения по структуре искомого элемента , ограничения по некоторым функционалам, зависящим от и отличным от (1.10). Неклассическую постановку задачи оптимизации с допустимыми множествами вида (1.11) будем называть многоцелевой.

В оглавление книги \ К следующему разделу


Поиск по сайту:


Система Orphus