MATLAB.Exponenta
–Û·Ë͇ Matlab&Toolboxes

MATLAB\MATLAB

В.Г.Потемкин "Справочник по MATLAB"
Линейная алгебра

  В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу

Матрица как математический объект возникает при решении конкретных вычислительных задач, и в первую очередь при решении систем линейных алгебраических уравнений и задач на собственные значения. Матрица в виде прямоугольной таблицы чисел очень схожа с массивом, однако прикладные задачи, которые порождают матрицы, определяют для них специальную совокупность допустимых операций, среди которых особое место занимает операция умножения. Для простейшего случая, когда умножается вектор-строка на вектор-столбец, такой операцией является операция скалярного произведения.

Матрицы широко используются при решении обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и уравнений в частных производных, решении оптимальных задач и т. п.

Алгебраические задачи, связанные с матрицами, объединяются в раздел математики, получивший название линейной алгебры, который включает такие базисные задачи, как обращение и псевдообращение матриц, спектральное и сингулярное разложение матриц.

В вычислительном плане раздел линейной алгебры поддержан пакетами прикладных программ LINPACK, EISPACK, разработанными в 60-70-е годы ведущими специалистами, к числу которых принадлежит и основатель фирмы The MathWorks, Inc. Моулер (C. Moler). Изначальное назначение системы MATLAB состояло именно в том, чтобы создать диалоговую среду для работы с пакетами программ линейной алгебры.

Несмотря на кажущуюся завершенность, этот раздел развивается и в настоящее время в направлении создания новых операций: для работы с парами матриц (приведение пары матриц к форме Шура, рекуррентное сингулярное разложение пары прямоугольных матриц), решения матричных полиномов и полиномиальных матричных уравнений.

Рассмотрим функции системы MATLAB, которые поддерживают работу с матрицами, в следующей последовательности: характеристики матриц, решение систем линейных уравнений, вычисление собственных значений и сингулярных чисел, вычисление функций от матриц, работа с алгебраическими полиномами.

Характеристики матриц

  • COND - число обусловленности матрицы
  • NORM - нормы векторов и матриц
  • RCOND - оценка числа обусловленности матрицы
  • RANK - ранг матрицы
  • DET - определитель матрицы
  • TRACE - след матрицы
  • NULL - нуль-пространство (ядро) матрицы
  • ORTH - ортонормальный базис матрицы
  • SUBSPACE - угол между двумя подпространствами
  • RREF - треугольная форма матрицы

Решение линейных уравнений

  • \, / - решатели систем линейных уравнений
  • CHOL - разложение Холецкого
  • LU - LU-разложение
  • INV - обращение матрицы
  • PINV - псевдообращение матрицы по Муру-Пенроузу
  • QR, QRDELETE, QRINSERT - QR-разложение
  • PLANEROT - преобразование Гивенса
  • NNLS - метод наименьших квадратов с ограничениями
  • LSCOV - метод наименьших квадратов в присутствии шумов

Вычисление собственных значений и сингулярных чисел

  • EIG, CDF2RDF - собственные значения и собственные векторы матрицы
  • BALANCE - масштабирование матрицы
  • HESS - приведение к форме Хессенберга
  • SCHUR, RSF2CSF - приведение к форме Шура
  • CPLXPAIR - сортировка комплексносопряженных пар
  • QZ - прведение пары матриц к обобщенной форме Шура
  • POLYEIG - вычисление собственных значений матричного полинома
  • SVD - сингулярное разложение матрицы

Вычисление функций от матриц

  • EXPM, EXPM1, EXPM2, EXPM3 - вычисление матричной экспоненты
  • LOGM - вычисление логарифма матрицы
  • SQRTM - вычисление функции A 1/2
  • FUNM - вычисление произвольных функций от матрицы

Полиномы и операции над ними

  • POLYVAL - вычисление полинома
  • POLYVALM - вычисление матричного полинома
  • CONV - умножение полиномов
  • DECONV - деление полиномов
  • POLYDER - вычисление производных
  • ROOTS - вычисление корней полиномов
  • POLY - вычисление характеристического полинома
  • RESIDUE, RESI2 - разложение на простые дроби

  В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу

 


Поиск по сайту:

Система Orphus

Яндекс.Метрика