MATLAB.Exponenta
–Û·Ë͇ Matlab&Toolboxes

LMI Control Toolbox

"Введение в теорию синтеза на базе уравнений и неравенств Ляпунова"
Е.И. Веремей, М.В. Коровкин

Одним из важнейших вопросов, которым посвящен пакет прикладных программ LMI Control Toolbox системы Matlab, является задача синтеза оптимальных стабилизирующих законов управления. Для ее решения авторы пакета привлекают методы теории линейных матричных неравенств. В основе подобного подхода лежат фундаментальные положения теории устойчивости А.М. Ляпунова, представленные в работе [1].

Существо задачи синтеза состоит в аналитическом поиске линейных законов управления (регуляторов), обеспечивающих экстремум некоторого функционала, заданного на движениях замкнутой нелинейной системы. При этом оптимизация осуществляется на различных допустимых множествах линейных регуляторов, имеющих произвольную или фиксированную структуру.

При этом в целом ряде ситуаций допустимые множества формируются так, чтобы корни характеристического полинома соответствующего линейного приближения были расположены в заданных областях открытой левой полуплоскости. Такую проблему можно назвать задачей модальной оптимизации, поскольку она в явном виде связана с вопросами теории модального управления.

В данной статье рассматриваются элементы формализованного подхода к постановке указанной задачи и построению вычислительных схем ее решения на базе ряда идей теории устойчивости Ляпунова.

В качестве исходной математической модели объекта управления будем принимать систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида

, (1)

заданных на положительной полуоси времени . Здесь – вектор состояния объекта, – вектор управляющих воздействий, – вектор возмущений, действующих на объект. Будем считать, что – n-мерная вектор-функция с непрерывно дифференцируемыми компонентами по совокупности аргументов.

Пусть заданы вектор функции , , , определяющие некоторое контролируемое (возможно – программное) движение объекта, удовлетворяющие системе уравнений (1):

. (2)

Обозначая через , , отклонения соответствующих переменных в (1) от указанного движения, определим этим соотношения

. (3)

После подстановки (3) в (1) с учетом (2) получим уравнения возмущенного движения объекта в отклонениях от контролируемого движения:

, (4)
где . (5)

Из последних соотношений следует, что при условиях , , система (4) находится в положении равновесия, что соответствует контролируемому движению объекта управления, которое удовлетворяет системе (2). С учетом свойств функции в (1), система (4) может быть линеаризована в окрестности нулевого положения равновесия, что приводит к системе линейных дифференциальных уравнений объекта управления вида

. (6)

Матрицы системы (6) имеют своими компонентами соответствующие частные производные от функции , вычисленные при условиях , , .

Как указано в работе [2], рассматриваемое контролируемое движение , , можно сделать асимптотически устойчивым при с помощью обратных связей, если выполняются два условия:

1), (7)

где при и ;

2) неуправляемая часть линейного приближения (6) является устойчивой системой.

В дальнейшем будем полагать, что матрицы в (6) – постоянные, и будем считать, что выполнены условия (7) а также равенство

, (8)

гарантирующее полную управляемость по Калману.

Если приведенные выше условия выполняются то, согласно [2], нулевое положение равновесия линейной системы с постоянными коэффициентами

(9)

может быть сделано асимптотически устойчивым с помощью регулятора прямого действия

(10)

или с помощью регулятора непрямого действия

(11)

где и – постоянные матрицы.

Нетрудно показать, что аналогичное утверждение справедливо и для обобщенного понятия регулятора непрямого действия, математическая модель которого может быть представлена в следующем виде:

(12)

где – вектор состояния регулятора. С помощью регулятора (12) можно стабилизировать объект (9), обеспечивая произвольный спектр корней характеристического полинома замкнутой системы, заданием матриц с постоянными компонентами . Замечание: вопрос о возможности введения в состав регулятора производных до ()-го порядка от измеряемых координат должен в каждом конкретном случае обсуждаться особо.

С использованием понятия передаточной матрицы динамической системы от входа к выходу, уравнения регулятора непрямого действия (12) могут быть представлены в виде

(13)

– передаточная матрица регулятора, где – переменная Лапласа, – полиномиальная матрица размера , – полином степени . При этом справедливо равенство

(14)

где - единичная матрица размера , .

В дополнение к уравнениям линейного приближения (9), введем уравнение измерения, и будем рассматривать линейную математическую модель объекта в виде

(15)

Здесь – постоянная матрица, – вектор измеряемых координат, которые используются при формировании регулятора

(16a)

или регулятора

(16b)

В последнем случае будем считать, что структура передаточной матрицы фиксирована, причем выделен вектор настраиваемых параметров, подлежащих выбору в процессе синтеза.

Учитывая (3), замкнем нелинейную модель (1) линейным стационарным регулятором (16б) и получим уравнения замкнутой нелинейной системы

(17)

На движениях системы (17) при условиях , , зададим некоторый неотрицательный функционал

, (18)

который при прочих равных условиях превращается в функцию вектора настраиваемых параметров регулятора.

В случае замыкания исходной нелинейной модели регулятором (16а), аналогично получим

. (19)

Определение 1. Регуляторы и будем называть оптимальными по отношению к функционалу (19) и (18) соответственно, если они являются стабилизирующими в указанном выше смысле и среди всех стабилизирующих регуляторов вида (16а) и (16б) доставляют величинам и соответственно наименьшие возможные значения.

Определение 2. Задачей модального синтеза (модальной оптимизации) будем называть задачу поиска передаточной матрицы оптимального регулятора вида (16а)

(19а)

на допустимом множестве таком, что все корни характеристического полинома замкнутой системы (15), (16а) располагались в заданной области комплексной плоскости.

Определение 3. Задачей модального параметрического синтеза (модальной параметрической оптимизации) будем называть задачу поиска настраиваемых параметров оптимального регулятора , которую можно представить в виде

,(19б)

где множество допустимых параметров таково, что все корни характеристического полинома замкнутой системы (15), (16б) располагаются в заданной области комплексной плоскости.

Введем в рассмотрение понятие полноты структуры регулятора, для чего запишем уравнения замкнутой линейной системы (15), (16б), предварительно представив уравнение регулятора в развернутой форме (12):

(20)

Запишем характеристический полином  замкнутой  линейной системы (20):

,

и в дальнейшем степень этого полинома будем обозначать через .

Определение 4. Будем говорить, что структура регулятора (16б) является полной, если степени полиномов в числителях и знаменателях компонентов передаточной матрицы , а также размерность и состав компонентов вектора  таковы, что с помощью выбора этого вектора (т.е. назначения конкретных величин настраиваемых параметров) можно обеспечить произвольный спектр корней характеристического полинома замкнутой системы (20).

Определение 5. Степенью устойчивости полинома с корнями , ,...,, будем называть число

,

где – степень полинома .

Прежде, чем непосредственно переходить к рассмотрению оптимизационных задач вида (19а,б), предварительно рассмотрим один специальный подход к синтезу стабилизирующих законов управления, который непосредственно базируется на втором методе Ляпунова.

Пусть динамический объект управления описывается автономной нелинейной системой обыкновенных дифференциальных уравнений вида

, (21)

где вектор-функция задана и непрерывна в некоторой области , включающей начало координат. Будем считать, что эта функция удовлетворяет условию Липшица на любом замкнутом множестве . Кроме того, будем полагать, что система (21) имеет нулевое положение равновесия, т.е. . Имеет место следующее базовое утверждение теории Ляпунова:

Теорема Ляпунова об устойчивости. Если существует положительно определенная функция переменных, которая задана в области , непрерывна там и имеет непрерывные частные производные, причем такая, что ее производная по времени в силу системы (21) является функцией отрицательно определенной, то движение системы (21) является асимптотически устойчивым (в смысле Ляпунова).

В частности, теперь рассмотрим линейную стационарную систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида

, (22)

где – матрица размера с постоянными компонентами.

Известно, что необходимым и достаточным условием устойчивости нулевого положения равновесия такой системы (или, что то же самое, всей системы (22) в целом) является нахождение всех собственных чисел матрицы в открытой левой полуплоскости. Это утверждение в подавляющем большинстве случаев используется в теории аналитического синтеза стабилизирующих управлений.

Однако можно привести и другое (эквивалентное) утверждение, которое менее распространено в практике аналитического синтеза, однако непосредственно связано с теорией функций Ляпунова. На базе этого утверждения также можно построить некоторые вычислительные методы аналитического синтеза, которые будут приведены ниже.

Перед формулировкой утверждения, прежде всего, отметим, что для линейных систем функция Ляпунова всегда может быть выбрана в виде квадратичной формы.

Действительно, зададим некоторую положительно определенную квадратичную форму или, иными словами, зададим симметрическую матрицу c положительными собственными значениями. Далее потребуем, чтобы нашлась другая квадратичная форма , которая связана с формой следующим условием:

. (23)

Здесь через обозначена полная производная функции в силу системы (22). Очевидно, что

(24)

Из (24) с учетом (23) имеем , откуда следует

. (25)

Полученное условие (25) называется уравнением Ляпунова и в данном случае служит для нахождения неизвестной симметрической матрицы по заданным матрицам (произвольная квадратная матрица) и (произвольная симметрическая матрица). При этом справедливо следующее утверждение:

Теорема 1 (Теорема Ляпунова). Если в уравнении (25) матрица является гурвицевой, то для любой симметрической положительно определенной матрицы это уравнение имеет единственное решение – положительно определенную симметрическую матрицу . Обратно, если для какой либо симметрической положительно определенной матрицы уравнение (25) допускает положительно определенное симметрическое решение , то матрица является гурвицевой.

Оригинальное доказательство этой теоремы приведено в работе [1]. Доказательство на базе необходимого и достаточного условия (расположение собственных чисел матрицы в открытой левой полуплоскости) асимптотической устойчивости приведено, например, в работе [3] для случая .

Связь теоремы 1 с теоремой об устойчивости очевидна. Действительно, задавая произвольную положительно определенную матрицу R, мы гарантируем выполнение условий теоремы 1 для функции Ляпунова , если матрица найдена как решение уравнения (25).

Заметим, что приведенная теорема 1 может быть сформулирована в другой, эквивалентной, форме, связанной с понятием матричного неравенства. Предварительно введем договоренность о том, что под записью (), где – симметрическая матрица, будем понимать, что все ее собственные значения являются отрицательными (положительными) вещественными числами. Справедливо следующее утверждение [4, 5] и др.:

Теорема 2. Для того, чтобы матрица была гурвицевой, необходимо и достаточно, чтобы существовало положительно определенное симметрическое решение , матричного неравенства Ляпунова

или, что то же самое, чтобы существовало симметрическое решение системы матричных неравенств

Доказательство очевидно в силу теоремы 1.

Приведенные утверждения могут быть применены при анализе устойчивости линейных стационарных систем. Для перехода к вопросам синтеза, вместо (22), рассмотрим линейный объект управления с математической моделью вида

, (26)

где через обозначено управляющее воздействие. Будем считать, что матрица имеет постоянные компоненты, причем пара является вполне управляемой.

Будем строить стабилизирующее управление для объекта (26) в виде обратной связи (регулятора) по состоянию

, (27)

где – постоянная матрица.

Сформулируем теорему, на базе которой можно формировать различные вычислительные методы поиска матрицы коэффициентов стабилизирующего регулятора (27).

Теорема 3. Для того, чтобы регулятор (27) стабилизировал объект управления (26), необходимо и достаточно, чтобы матрица его коэффициентов была выбрана так, чтобы существовала положительно определенная симметрическая матрица , удовлетворяющая условию

. (28)

Доказательство. С учетом того, что матрица замкнутой системы определяется выражением , условие (28) непосредственно следует из теоремы 2.

Теорема 4. Матрица коэффициентов любого регулятора (27), стабилизирующего объект управления (26), может быть представлена в виде , где симметрическая матрица и прямоугольная матрица удовлетворяют следующей системе линейных матричных неравенств:

(29)

Доказательство. В соответствии с теоремой 3, для того, чтобы регулятор (27) стабилизировал объект (26), необходимо и достаточно, чтобы матрица его коэффициентов обеспечивала существование положительно определенной симметрической матрицы , удовлетворяющей условию

, (30)

где – матрица замкнутой системы. Преобразуем это условие, сначала умножив его правую и левую часть слева на матрицу : , а затем, повторив умножение на эту же матрицу справа: . Тогда, вводя обозначение , вместо неравенства (30) имеем

,

откуда следует

,

или . Отсюда, вводя обозначение и учитывая, что , поскольку (матрицы и симметрические), получим .

Теперь будем считать, что мы имеем две независимые матричные переменные: симметрическую матрицу и прямоугольную матрицу . Действительно, какими бы ни были эти матрицы, при условии всегда найдется матрица , обеспечивающая равенство .

Итак, необходимое и достаточное условие устойчивости замкнутой системы с учетом требования положительной определенности матрицы принимает вид (29), что и требовалось доказать. n

По существу, теорема 1.1.4 определяет схему построения произвольного стабилизирующего регулятора вида (27). Действительно, если найти произвольную пару матриц и , являющуюся решением системы линейных матричных неравенств (29) ( – симметрическая, – прямоугольная), то по формуле

(31)

можно определить матрицу коэффициентов регулятора.

В настоящее время теория линейных матричных неравенств находится в стадии интенсивного развития как в аналитическом, так и в вычислительном плане. В частности, в работе [5] получено следующее обобщение теоремы 2:

Теорема 5. Для того, чтобы все собственные значения матрицы находились в пределах области , заданной на комплексной плоскости выражением

, (32)

где ,, необходимо и достаточно, чтобы существовало симметрическое решение системы матричных неравенств вида

(33)

Замечание: в последней формуле использовано обозначение

.

Литература

  1. Ляпунов А.М., Общая задача об устойчивости движения.– М.:Гостехиздат, 1950.
  2. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л., Машиностроение, 1974.
  3. Беллман Р. Введение в теорию матриц.–М.: Наука, 1969. –367 с.
  4. S. Boyd, L.E. Ghaoui, E. Feron, V. Balakrishnan. Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory. SIAM books, Philadelphia, 1994.
  5. Nemirovski A., Gahinet P. The Projective Method for Solving Linear Matrix Inequalities // Proc. Americ. Contr. Conf., 1994, pp. 840-844.

Поиск по сайту:

Система Orphus

Яндекс.Метрика