MATLAB.Exponenta
–Û·Ë͇ Matlab&Toolboxes

Проектирование систем управления\Fuzzy Logic Toolbox

С.Д.Штовба "Введение в теорию нечетких множеств и нечеткую логику"

В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу

14. Принятие решений в нечетких условиях по схеме Беллмана - Заде

В 1970 году Беллман и Заде опубликовали статью "Decision - Making in Fuzzy Environment" [1, русский перевод - 2], которая послужила отправной точкой для большинства работ по нечеткой теории принятия решений. В той статье рассматривается процесс принятия решений в условиях неопределенности, когда цели и ограничения заданы нечеткими множествами. Принятие решения - это выбор альтернативы, которая одновременно удовлетворяет и нечетким целям, и нечетким ограничениям. В этом смысле, цели и ограничения являются симметричными относительно решения, что стирает различия между ними и позволяет представить решение как слияние нечетких целей и ограничений. В настоящем разделе излагаются основы теории принятия решений в нечетких условиях по схеме Беллмана-Заде с примерами нечеткого многокритериального анализа вариантов при равновесных и неравновесных критериях. При написании разделы использованы источники [2-6].

14.1.Нечеткие цели, ограничения и решения

Пусть  - множество альтернатив. Нечеткую цель будет отождествлять с нечетким множеством в X. Например, если альтернативами являются действительные числа, т.е. , а нечеткая цель сформулирована как "x должно быть около 10", то ее можно представить нечетким множеством с такой функцией принадлежности:

. (14.1)

Аналогичным образом нечеткое ограничение определяется как некоторое нечеткое множество на универсальном множестве X. Например, нечеткое ограничение "x должно быть значительно больше 8" при можно представить нечетким множеством с такой функцией принадлежности:

, (14.2)

Нечеткое решение также определяется как нечеткое множество на универсальном множестве альтернатив X. Функция принадлежности этого нечеткого множества показывает насколько хорошо решение удовлетворяет нечетким целям И ограничениям. Логической операции И, которая связывает цели и ограничения, соответствует операция пересечения нечетких множеств. Следовательно, решение - это пересечение нечеткой цели с нечетким ограничением:

. (14.3)

Пример 14.1. Нечеткая цель и нечеткое ограничение сформулированы так:

: "x должно быть около 10"   и   : "x должно быть значительно больше 8".

Функции принадлежности нечетких множеств и заданы выражениями (14.1) и (14.2). Необходимо найти нечеткое решение .

Нечеткое решение найдем по формуле (14.3). Учитывая, что пересечению нечетких множеств соответствует операция минимума над функций принадлежности, получаем:

.

Взаимосвязь между нечеткими целью, ограничением и решением показана на рис. 14.1. Цель и ограничения конфликтуют между собой, поэтому в нечетком множестве нет ни одного элемента со степенью принадлежности равной 1. Значит, не существует альтернативы, которая полностью удовлетворяет и цели, и ограничению. В качестве четкого решения в таких случаях обычно выбирают альтернативу с максимальной степенью принадлежности нечеткому множеству .

Рис. 14.1 - К примеру 14.1: принятие решения по принципу Беллмана-Заде

При принятии решений по схеме Беллмана-Заде не делается никакого различия между целью и ограничениями. Всякое разделение на цель и ограничения является условным: в формуле (14.3) можно поменять местами цель с ограничением, при этом решение не изменится. В традиционной теории принятия решений подобные замены функции предпочтения на ограничение недопустимы. Однако, и здесь прослеживается некоторое скрытое сходство между целями и ограничениями. Оно становится явным при использовании метода неопределенных множителей Лагранжа и штрафных функций, когда цель и ограничения объединяются в одну функцию.

В общем случае, когда имеется n целей и m ограничений, результирующее решение по схеме Беллмана-Заде определяется пересечением всех целей и ограничений:

,

и соответственно

.

До сих пор предполагалось, что все цели и ограничения, входящие в , имеют одинаковую важность. Более привычная ситуация, в которой удовлетворение одним целям и (или) ограничениям, важнее чем другим. Обозначим через  - коэффициент относительной важности i-ой цели, а через  - коэффициент относительной важности j-го ограничения . Тогда функцию принадлежности решения определяется так:

(14.4)

Чем меньше коэффициент относительной важности, тем соответствующее нечеткое множество цели или ограничения становится более размазанным, и, следовательно, его роль в принятии решения снижается. На рис. 14.2 приведены нечеткие решения при различных коэффициентах важности цели и ограничения из примера 14.1.

Рис. 14.2 - К примеру 14.1: принятие решений при разной важности цели и ограничения

14.2. Нечеткий многокритериальный анализ вариантов

Будем считать известными:

 - множество вариантов, которые подлежат многокритериальному анализу;

 - множество количественных и качественных критериев, которыми оцениваются варианты.

Задача многокритериального анализа состоит в упорядочивании элементов множества X по критериям из множества G.

Пусть - число в диапазоне [0,1], которое характеризирует уровень оценки варианта по критерию : чем больше число , тем выше оценка варианта по критерию , , . Тогда критерий можно представить в виде нечеткого множества на универсальном множестве вариантов X:

, (14.5)

где - степень принадлежности элемента нечеткому множеству .

Находить степени принадлежности нечеткого множества (14.5) удобно методом построения функций принадлежности на основе парных сравнений . При использовании этого метода необходимо сформировать матрицы парных сравнений вариантов по каждому критерию. Общее количество таких матриц совпадает с количеством критериев и равняется n.

Наилучшим вариантом будем тот, который одновременно лучший по всем критериям. Нечеткое решение находится как пересечения частных критериев:

. (14.6)

Согласно с полученным нечетким множеством ‚ наилучшим вариантом следует считать тот‚ для которого степень принадлежности является наибольшей.

При неравновесных критериях формула (14.6) принимает вид:

, (14.7)

где  - коэффициент относительной важности критерия , .

Показатель степень в формуле (14.7) свидетельствует о концентрации нечеткого множества в соответствии с мерой важности критерия . Коэффициенты относительной важности критериев могут быть определены различными методами, например, с помощью парных сравнений по шкале Саати.

14.3. Нечеткий многокритериальный анализ инновационных проектов

В качестве примера принятия решений в нечетких условиях по схеме Беллмана - Заде рассмотрим сравнение технико-экономического уровня трех проектов (), направленных в инновационный фонд с целью получения финансирования [6].

Для оценки технико-экономического уровня проектов воспользуемся такими критериями:

- масштаб проекта;

- новизна проекта;

- приоритетность направления;

- степень проработки;

- правовая защищенность;

- экологический уровень.

При экспертном сравнении проектов по критериям были получены лингвистические высказывания, показанные в табл. 14.1.

Таблица 14.1 - Парные сравнения проектов по шкале Саати

Критерий

Парные сравнения

Отсутствие преимущества над

Существенное преимущество над

Почти существенное преимущество над

Слабое преимущество над

Существенное преимущество над

Явное преимущество над

Слабое преимущество над

Почти слабое преимущество над

Существенное преимущество над

Почти явное преимущество над

Почти существенное преимущество над

Почти слабое преимущество над

Этим экспертным высказываниям соответствуют следующие матрицы парных сравнений:

;

;

;

;

;

.

В этих матрицах полужирным шрифтом выделенные элементы, которые соответствуют парным сравнениям из табл. 14.1. Остальные элементы найдены в предположении о согласованости парных сравнений, т.е. с учетом того, что матрица парных сравнений является диагональной и обладает свойствами транзитивности и обратной симметричности (подробнее см. раздел 13 ).

Применяя формулу (13.5) к матрицами парных сравнений‚ получаем следующие нечеткие множества:

,

,

,

,

,

.

Теперь по формуле (14.6) получаем:

,

что свидетельствует о существенном преимуществе проекта над проектом , а также о слабом преимуществе проекта над проектом .

Предположим, что критерии являются неравновесными. Для определения рангов критериев воспользуемся методом парных сравнений. Пусть заданы следующие лингвистические высказывания о важности критериев:

  • почти существенное преимущество над ;

  • явное преимущество над ;

  • слабое преимущество над ;

  • почти слабое преимущество над ;

  • отсутствие преимущества над .

Этим экспертным высказываниям соответствует следующая матрица парных сравнений:

.

Применяя формулу (13.5), определим ранги критериев :

; ; ; ; ; ,

что означает наибольшую важность приоритетности направления () и степени проработки проекта (). По формуле (14.7) получаем такие нечеткие множества:

;

;

;

;

;

.

В результате пересечения нечетких множеств получаем:

,

что свидетельствует о существенном преимуществе проекта над проектами и , а также о слабом преимуществе проекта над проектом .

Литература

  1. Bellman R.E., Zadeh L.A. Decision-Making in Fuzzy Environment // Management Science. vol. 17. - 1970. -- №4. - P.141 - 160.

  2. Беллман Р., Заде Л. Принятие решений в расплывчатых условиях. В кн.: Вопросы анализа и процедуры принятия решений. М.: Мир - 1976. - С.172-215.

  3. Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. - М.: Радио и связь, 1981. - 286 с.

  4. Zimmermann H.-J. Fuzzy Set Theory and its Applications. 3rd ed.- Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.- 1996. 315p.

  5. Ротштейн А.П. Интеллектуальные технологии идентификации: нечеткая логика, генетические алгоритмы, нейронные сети. - Винница: УНИВЕРСУМ-Винница, 1999. - 320 с.

  6. Ротштейн А.П., Штовба С.Д. Нечеткий многокритериальный анализ вариантов с применением парных сравнений  // Известия РАН. Теория и системы управления.- 2001.- №3.- С.150-154.

    В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу


Поиск по сайту:

Система Orphus

Яндекс.Метрика