MATLAB.Exponenta
MATLAB и Simulink на русском
Технологии разработки и отладки
		сложных технических систем

Femlab

Система конечноэлементных расчётов FEMLAB 3.x. Документация.

2.2.3. Модель свободной конвекции

Эта модель проходит через все шаги моделирования и анализа теплопередачи в системе FEMLAB. Большинство шагов этой модели применимо и для других моделей FEMLAB, так что её можно использовать как отправную точку для вашего собственного моделирования и анализа.

Введение

В этом примере описывается задача расчёта потока жидкости с теплопередачей в жидкости. Ряд нагревающих труб погружён в канале с потоком жидкости, которая втекает в нижнее основание. На рис. 2.2.3.1 схематично показана эта теплообменная установка.


Рис. 2.2.3.1 Схематичное изображение теплообменной установки

Определение модели

Во-первых, если пренебречь краевыми эффектами, то во всех поперечных сечениях системы (по отношению к нагревающим трубам) распределения температур и скоростей одинаковы. Это означает, что моделируемое поле является плоскопараллельным (двумерным) и может описываться двумерными PDE.

Моделируемое поле симметрично. Это означает, что расчётную область модели можно ограничить плоскостями симметрии, следы которых показаны на рис. 2.2.3.2.


Рис. 2.2.3.2. Поперечное по отношению к нагревающим трубам сечение системы

Основополагающие уравнения

Данная модель является мультифизической, поскольку здесь анализируется более одного физического явления. Здесь надо совместно решать уравнения Навье-Стокса для несжимаемых потоков и уравнение теплообмена. Есть четыре неизвестные полевые переменные (в терминологии FEMLAB их иначе называют зависимыми переменными):

  • Декартовы компоненты векторного поля скоростей: u и v;
  • Давление p;
  • Температура T.

Названные физические величины связаны друг с другом двусторонними связями.

Уравнения Навье-Стокса для несжимаемых потоков состоят из баланса количества движения (импульса) при выполнении закона сохранения масс и условия несжимаемости. Уравнения имеют вид:

, (2.2.3.1)

где - плотность вещества, u - векторное поле скоростей, причём в декартовой системе координат u = 1xu + 1yv, 1x , 1y - единичные векторы системы координат, p - давление, - динамическая вязкость, F - векторное поле объёмной плотности силы, - векторный пространственный дифференциальный оператор первого порядка, . Система уравнений (2.2.3.1) записана в векторно-тензорной форме. Из тензорного анализа известно, что любой вектор в пространстве является тензором первой валентности, а скаляр - тензором нулевой валентности. - знак внешнего произведения тензоров. Внешним произведением двух тензоров является тензор, валентность которого равна сумме валентностей сомножителей. Внешним произведением двух векторов является тензор второй валентности. Градиент векторного поля - это тензорное поле второй валентности, получаемое путём формального внешнего умножения векторного поля на , причём операции дифференцирования применяются к компонентам этого векторного поля. Матрица декартовых компонентов тензора является транспонированной по отношению к соответствующей матрице тензора . Дивергенция тензорного поля второй валентности является векторным полем, которое получается путём формального внутреннего умножения на тензорное поле. Внутреннее произведение тензоров первой валентности - это обычное скалярное произведение векторов.

Уравнение теплопередачи - это закон сохранения тепловой энергии в дифференциальной форме:

, (2.2.3.2)

cp - удельная теплоёмкость жидкости, - её плотность, T - температура, k - коэффициент теплопроводности, u - векторное поле скорости движения жидкости, Q - объёмная плотность мощности тепловых источников. В уравнении (2.2.3.2) выражение в скобках представляет собой плотность потока тепловой мощности. Она состоит из двух составляющих: кондуктивной и конвективной. Конвективная составляющая (второе слагаемое) пропорциональна вектору скорости, которая определяется решением уравнения (2.2.3.1). Таким образом, здесь уже проявляется односторонняя связь между несжимаемым потоком жидкости и теплопередачей.

Моделирование в FEMLAB

Чтобы встроить в FEMLAB-модель уравнения (2.2.3.1) и (2.2.3.2), нужно использовать два прикладных режима: 1) Несжимаемые потоки Навье-Стокса и 2) Конвекция и Кондукция. Мультифизические связи задаются при вводе физических параметров модели в названных прикладных режимах.

В этой модели связь между уравнениями прикладных режимов осуществляется через термы Q и F. Здесь упрощённо предполагается, что плотность вещества не зависит от температуры, однако, температурные градиенты вызывают появление сил плавучести. На этапе физического моделирования в прикладном режиме Навье-Стокса в диалоговом окне Subdomain Settings в строку редактирования терма F надо вписать нужную зависимость, ссылаясь на переменные функций формы теплового прикладного режима. В данной модели эта функциональная зависимость представлена в форме аппроксимации Буссинеску.

В прикладном режиме Конвекция и Кондукция в диалоговом окне Subdomain Settings в строки редактирования компонентов скорости нужно вписать скоростные зависимые переменные прикладного режима Навье-Стокса. Теперь двусторонняя мультифизическая связь установлена и задана в модели.

Результаты


Рис. 2.2.3.3. Распределение температуры и скорости в расчётной области


Рис. 2.2.3.4. Распределение температуры и скорости при отсутствии эффекта плавучести

Решение поставленной здесь задачи записано в Библиотеку моделей (FEMLAB/ Multiphysics/ free_convection). Если эту решённую модель загрузить в FEMLAB, то в поле axes будет показано распределение температуры жидкости и скорости её движения (рис. 2.2.3.3). На этой картинке отчётливо видно влияние эффекта плавучести нагретой жидкости на распределение скорости. На выходе потока с левой стороны канала y-составляющая скорости больше, чем с правой стороны. Если бы этого эффекта не было, то справа скорость была бы больше (рис. 2.2.3.4).

Используя команды интегрирования в постпроцессорной обработке, можно, например, вычислять средние температуры в различных подобластях (в зонах и на границах). Например, средняя температура на выходе канала составила 293.513229 градуса, а при отсутствии эффекта плавучести - 293.868854.

Ниже будет показана технология моделирования в установившемся режиме, а в п. 2.2.4 - в переходном режиме.

Моделирование с использованием графического интерфейса FEMLAB

Процесс моделирования начинается запуском системы FEMLAB.

Навигатор моделей

Формирование нужного нам мультифизического прикладного режима достаточно подробно показано в п. 2.2.1 (Создание и загрузка моделей). Итоговый вид окна Навигатора моделей показан на рис. 2.2.1.2. Нажатие кнопки OK приведёт к закрытию окна Навигатора моделей и развёртыванию окна графического интерфейса FEMLAB.

Режимы и настройки

Для упрощения ввода в модель физических свойств воды, температуры и скорости потока на входе, температуры на поверхности нагревающей трубы целесообразно создать и ввести константы. Все физические величины будем задавать и рассчитывать в единицах СИ. В таблице 2.2.3.1 представлены константы модели: назначения, имена и значения.

Таблица 2.2.3.1

Константы модели

Физическая величина

Имя константы

Выражение или значение

Плотность жидкости (воды)

rho0

1E3

Динамическая вязкость воды

mu

1E-3

Удельная теплоёмкость воды

cp

4.2E3

Коэффициент теплопроводности

kc

0.6

Коэффициент объёмного расширения

alpha0

0.18E-3

Ускорение свободного падения

g0

9.8

Скорость на входе

vin

5E-3

Температура на входе

Tin

293

Температура нагревающей трубы

Theat

303

Выполним команду меню Options/ Constants. Развернётся диалоговое окно Constants. В ячейки (строки редактирования) впишем имена констант и определяющие выражения, как показано на рис. 2.2.3.5. Нажатие кнопки Apply приведёт к вычислению констант, заполнению колонки Value и принятию всего ввода без закрытия диалогового окна (рис. 2.2.3.5). Нажатие кнопки OK приведёт к тем же действиям и закрытию окна.


Рис. 2.2.3.5. Диалоговое окно ввода и редактирования констант

Теперь нужно настроить пределы координатных осей в поле axes. Для этого нужно выполнить команду меню Options/ Axes/Grid Settings. Развернётся диалоговое окно Axes/Grid Settings. В строки редактирования закладки Axis введём значения, показанные на рис. 2.2.3.6. А в строки редактирования закладки Grid введём значения, показанные на рис. 2.2.3.7. Нажатие кнопки OK приведёт к принятию ввода и закрытию диалогового окна. Теперь можно приступать к построению геометрии.


Рис. 2.2.3.6. Закладка Axis диалогового окна Axes/Grid Settings


Рис. 2.2.3.7. Закладка Grid диалогового окна Axes/Grid Settings

Геометрическое моделирование

Наиболее простой способ нарисовать геометрию расчётной области - создать геометрический объект прямоугольник и объект круг, затем создать из них композиционный объект, выполнив операцию вычитания множеств.

Выполним команду меню Draw/ Draw Objects/ Rectangle/Square. Щёлкнем мышью в точке с координатами (0, 0.04), потом в точке (0.005, 0). В поле axes появится прямоугольник, как показано на рис. 2.2.3.8. Теперь выполним команду меню Draw/ Specify Objects/ Circle. Развернётся диалоговое окно Circle. Введём в него параметры создаваемого круга, как показано на рис. 2.2.3.9. Нажатие кнопки OK приведёт к созданию круга (рис. 2.2.3.10) и закрытию диалогового окна.


Рис. 2.2.3.8. Построенный прямоугольник в поле axes


Рис. 2.2.3.9. Диалоговое окно создания и редактирования свойств круга


Рис. 2.2.3.10. Прямоугольник и круг в поле axes

Нажмём клавишу Ctrl+A, чтобы выделить все геометрические объекты. Выделенные объекты закрашиваются красным цветом. Для выполнения операции вычитания множеств нажмём кнопку (Difference) инструментальной панели рисования. В результате получится композиционный объект (рис. 2.2.3.11), который и будет представлять геометрическую модель расчётной области.


Рис. 2.2.3.11. Созданный композиционный объект

Физическое моделирование

Теперь, когда геометрия готова, можно начинать задавать физические параметры. Граничные условия и коэффициенты уравнений вводятся в модель независимо для двух прикладных режимов.

Граничные условия

Выполним команду меню Physics/ Boundary Settings. FEMLAB перейдёт в операционный режим ввода и редактирования граничных условий. Попутно раскроется диалоговое окно Boundary Settings (рис. 2.2.3.12 - 2.2.3.14). По умолчанию для всех граничных сегментов бывает принято условие полной теплоизоляции (Thermal insulation). В нашей модели такими участками границы являются сегменты 1, 3, 5. В соответствии с условиями задачи на входе в поток (сегмент 2) температура равна константе Tin (рис. 2.2.3.12). На выходе потока (сегмент 4) кондуктивной составляющей плотности потока тепловой мощности можно пренебречь. Это означает, что имеет место только неизвестная конвективная составляющая. Задаётся это условие так, как показано на рис. 2.2.3.13. По условию задачи на поверхности нагревающей трубы задана температура, равная константе Theat (рис. 2.2.3.14). На этих рисунках кроме диалогового окна Boundary Settings показано также поле axes с граничными сегментами и их номерами. Номера показаны при помощи команды меню Options/ Labels/ Show Edge Labels.


Рис. 2.2.3.12. Тепловое граничное условие на входе в поток


Рис. 2.2.3.13. Тепловое граничное условие на выходе потока


Рис. 2.2.3.14. Тепловое граничное условие на поверхности нагревающей трубы

Нажатие кнопки OK приведёт к принятию всего ввода и закрытию окна Boundary Settings. Граничные условия для прикладного режима Конвекция и Кондукция полностью заданы. Теперь их надо задать для прикладного режима Несжимаемые потоки Навье-Стокса. Переключиться в этот режим можно командой меню Multiphysics/ Incompressible Navier-Stokes.

Опять раскроем окно Boundary Settings. Клавишей Ctrl+A выделим все сегменты. В ниспадающем меню Boundary condition выберем пункт Slip/Symmetry. В сегменте 2 зададим y-составляющую скорости, равную константе с именем vin (рис. 2.2.3.15). В сегменте 4 зададим давление, равное нулю и тангенциальную составляющую скорости, равную нулю (Normal flow/Pressure) (рис. 2.2.3.16). В сегментах 6, 7 зададим условие нулевой скорости (No slip) (рис. 2.2.3.17).


Рис. 2.2.3.15. Задание вектора скорости на входе потока


Рис. 2.2.3.16. Граничное условие на выходе потока


Рис. 2.2.3.17. Нулевая скорость на поверхности нагревающей трубы

Нажатие кнопки OK приведёт к принятию всего ввода и закрытию окна Boundary Settings. Граничные условия для обоих прикладных режимов полностью заданы. Можно переходить к заданию материальных свойств и коэффициентов PDE.

Установка параметров зон расчётной области

В зависимости от прикладного режима, коэффициенты в управляющих уравнениях могут интерпретироваться как материальные свойства, силы и источники. Вы определяете все из них в диалоговом окне Subdomain Settings, которое раскрывается командой меню Physics/ Subdomain Settings. Вид этого диалогового окна со всеми установленными параметрами для прикладного режима Incompressible Navier-Stokes показан на рис. 2.2.3.18.


Рис. 2.2.3.18. Окно Subdomain Settings для прикладного режима Incompressible Navier-Stokes

В диалоговом окне Subdomain Settings можно также устанавливать начальные значения. Для этого надо переключиться на закладку Init. Задание начальных значений необходимо, т.к. уравнения Навье-Стокса нелинейные, а нелинейный решатель использует начальные значения в качестве начального приближения для нелинейных итераций. Нестационарные решатели используют их в качестве начальных условий задачи. Вид этой закладки с установленным начальным условием показан на рис. 2.2.3.19. Нажатие кнопки OK приведёт к принятию ввода и закрытию диалогового окна.


Рис. 2.2.3.19. Закладка начальных условий для прикладного режима Incompressible Navier-Stokes


Рис. 2.2.3.20. Окно Subdomain Settings для прикладного режима Convection and Conduction

Выполним команду меню Multiphysics/ Convection and Conduction. Раскроем диалоговое окно Subdomain Settings. Вид этого диалогового окна со всеми установленными параметрами для прикладного режима Конвекция и Кондукция показан на рис. 2.2.3.20. В закладке Init в строку редактирования T(t0) впишем имя константы Tin. Нажатие кнопки OK приведёт к принятию ввода и закрытию диалогового окна. На этом ввод физических параметров заканчивается.

Построение сетки конечных элементов

Чтобы создавать заданную по умолчанию сетку, выполните команду меню Mesh/ Mesh Mode или Mesh/ Initialize Mesh. Если нужна различная разрешающая способность сетки или требуется, чтобы сетка была более плотной в некоторых местах расчётной области, то можно использовать параметры настройки в диалоговом окне Mesh Parameters и других командах меню группы Mesh.

Если Вы доверяете параметрам по умолчанию, Вы можете непосредственно переходить к решению модели. FEMLAB тогда создаёт сеть, когда Вы нажимаете на кнопку Solve главной инструментальной панели. Однако, желательно осмотреть сетку перед решением, потому что её плотность и качество влияют на время решения, сходимость и точность.

В этой модели целесообразно использовать предопределенную установку Fine для сетки:

·         Выполните команду меню Mesh/ Mesh Parameters.

·         В диалоговом окне Mesh Parameters, выберите пункт Fine в ниспадающем меню Predefined mesh sizes.

·         Щелкните OK.

·         Инициализируйте сетку, щёлкнув кнопкой мыши по кнопке Initialize Mesh на главной инструментальной панели.

Использование этих параметров настройки сети создает относительно удачную сетку. Позже можно совершенствовать сеть, чтобы далее улучшить точность решения. Если при повторном решении использование более тонкой сетки даёт подобные результаты, то разрешающая способность сетки достаточна для достижения приемлемой точности, иначе нужно совершенствовать (измельчать) сетку снова.

Вычисление решения

Требуемый нелинейный решатель - это заданный по умолчанию решатель, так что достаточно щёлкнуть по кнопке Solve главной инструментальной панели. Следует обратить внимание на окно прогресса решения (рис. 2.2.3.21), которое позволяет контролировать и останавливать процесс решения. Решение сходится быстро при данных настройках решателя. На компьютере с процессором Athlon 950 решение длится 8.022 с (если параллельно ещё работает музыкальное приложение).

Как только решение готово, FEMLAB отображает заданный по умолчанию график. В данном случае получится цветовой график поля скоростей (вектор скорости будет взят по модулю).


Рис. 2.2.3.21. Окно прогресса решения

Постпроцессорная обработка и визуализация

FEMLAB обладает развитой системой постпроцессорной обработки. Здесь предусмотрено достаточно много способов визуализации решения. Можно строить графики не только решения, но и его пространственных и временных производных, пространственных координат и т.д. Здесь можно использовать механизм переменных FEMLAB. Для любого допустимого выражения, составленного из этих переменных, можно построить график. Также для любого прикладного режима предусмотрены предопределённые списки наиболее интересных переменных для визуализации (в диалоговом окне Plot Parameters). Чтобы получить график, показанный на рис. 2.2.3.3, нужно выполнить следующую последовательность действий:

  • Раскрыть диалоговое окно Plot Parameters командой меню Postprocessing/ Plot Parameters.
  • В закладке General установить флаги Surface и Arrow (рис. 2.2.3.22).
  • В закладке Surface в ниспадающем меню Predefined quantities выбрать пункт Temperature (cc).
  • В закладке Arrow в ниспадающем меню Predefined quantities выбрать пункт Velocity field (ns).
  • В строки редактирования Number of points вписать значения x points: 10, y points: 15.
  • Нажать кнопку Color и в развёрнутом окне выбрать, например, белый цвет.
  • Кнопкой OK закрыть диалоговое окно Plot Parameters.


Рис. 2.2.3.22. Закладка General диалогового окна Plot Parameters

Дополнительная постпроцессорная обработка. Операция интегрирования

По результатам решения попытаемся определить среднюю температуру на выходе потока. Математически она определяется следующим соотношением:

, (2.2.3.3)

средневзвешенная по скорости температура:

. (2.2.3.4)

В данной модели знаменатель выражения (2.2.3.3) представляет собой ширину выхода потока, которая задана равной 0.005. Поэтому для вычисления средней температуры на выходе (граничный сегмент 4) нужно выполнить команду меню Postprocessing/ Boundary Integration. Раскроется диалоговое окно Boundary Integration, вид которого с необходимыми настройками показан на рис. 2.2.3.23.


Рис. 2.2.3.23. Диалоговое окно Boundary Integration

Нажатие кнопки Apply приведёт к выдаче в протокол сообщений следующей записи:

Value of integral: 293.508869, Expression: T/5e-3, Boundary: 4.

Чтобы вычислить знаменатель выражения (2.2.3.4), нужно в строку редактирования Expression вписать имя переменной v. Опять жмём Apply и получаем:

Value of integral: 2.5e-5, Expression: v, Boundary: 4.

Значит, для вычисления средневзвешенной температуры по формуле (2.2.3.4) нужно в строку редактирования Expression вписать выражение T*v/2.5e-5. Жмём OK и получаем в протоколе сообщений:

Value of integral: 293.749699, Expression: T*v/2.5e-5, Boundary: 4.

Сохранение модели

Для сохранения предусмотрена команда меню File/ Save (горячая клавиша Ctrl+S). Если сохранение происходит первый раз, то раскрывается браузер, с помощью которого можно ввести имя сохраняемого файла. Сохранение происходит в формате FEMLAB (файл с расширением fl). Есть ещё команда File/ Save As. Она позволяет сохранять модели в виде fl и m- файлов.

Работа со связанной системой уравнений

Физические прикладные режимы не требуют непосредственной работы с PDE. Однако, работая в любом прикладном режиме можно переключиться в режим работы с системой PDE. Для этого есть группа команд меню Physics/ Equation System. В этой группе две команды в 1D, три команды в 2D, четыре команды в 3D: Subdomain Settings, Boundary Settings, Edge Settings, Point Settings. Каждая из этих команд приводит к развёртыванию диалогового окна, которое очень похоже на аналогичное окно прикладного режима группы PDE Modes. Вид показываемых уравнений зависит от формы представления краевой задачи: коэффициентной, генеральной или ослабленной проекционной. Это окно имеет ещё одну закладку: Variables. Эта закладка содержит таблицу переменных прикладных режимов с именами, определяющими выражениями и описаниями. Для примера покажем эту закладку окна Subdomain Settings для рассмотренной модели свободной конвекции (рис. 2.2.3.24).


Рис. 2.2.3.24. Закладка описания переменных прикладного режима в окне Subdomain Settings - Equation System


Поиск по сайту:

Система Orphus

Яндекс.Метрика