MATLAB.Exponenta
MATLAB и Simulink на русском
Технологии разработки и отладки
		сложных технических систем

Femlab

В.Е.Шмелев "Заметки по использованию системы FEMLAB"

В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу

FEMLAB 2.3. Структурный тип данных fem

Данные этого типа представляют собой переменные MATLAB, поля которых содержат полную информацию о текущем состоянии модели FEMLAB. fem - это главный тип данных, определённый в пакете FEMLAB. С помощью этого типа данных осуществляются почти все вычислительные операции пакета FEMLAB.

Список полей структуры fem

fem.sdim - имена пространственных координат (независимых переменных FEMLAB-модели).
fem.draw - информация о геометрических объектах FEMLAB-модели: перечень солидных объектов 
(1D, 2D, 3D), face-объектов (3D), криволинейных объектов (2D, 3D), точечных объектов (1D, 2D, 3D).
fem.geom - проанализированная геометрия. Могут быть любые геометрические объекты, m-файл геометрии или сетка.
fem.equiv - список эквивалентных границ расчётной области.
fem.mesh - значение структурного типа данных mesh. Содержит информацию о конечноэлементной сетке.
fem.appl - значение структурного типа данных appl. Содержит информацию обо всех прикладных режимах модели FEMLAB.
fem.sshape - порядок аппроксимации геометрии (целое число).
fem.dim - имена или число зависимых переменных модели FEMLAB.
fem.shape - информация о функциях формы конечных элементов.
fem.const - определение констант FEMLAB-модели.
fem.expr - определение expressions-переменных FEMLAB-модели.
fem.var - переменные прикладных режимов FEMLAB-модели.
fem.lib - библиотека материальных свойств FEMLAB-модели.
fem.equ - переменные, уравнения, связи и начальные значения в зонах.
fem.bnd - переменные, уравнения, связи и начальные значения на границах (кроме 0D).
fem.edg - переменные, уравнения, связи и начальные значения в рёбрах (только 3D).
fem.pnt - переменные, уравнения, связи и начальные значения в вершинах (точечных объектах, только 2D, 3D).
fem.form - форма представления краевой задачи: 'coefficient' - коэффициентная (по умолчанию),
 'general' - генеральная, 'weak' - ослабленная проекционная формулировка.
fem.border - "активация" граничных условий на границах раздела зон.
fem.mat - дополнительные вклады в глобальные матрицы FEMLAB-модели.
fem.elem - структуры element (нижний уровень определения краевой задачи).
fem.eleminit - структуры eleminit (нижний уровень определения начальных условий).
fem.xmesh - информация о расширенной конечноэлементной сетке.
fem.init - информация о распределении начальных условий в расчётной области.
fem.sol - узловое распределение решения краевой задачи.

fem.sdim

Значение этого поля представляет собой массив строковых ячеек с именами независимых переменных (пространственных координат) модели FEMLAB. Пример:

fem.sdim={'r','phi','z'}

fem.draw

Это поле структуры fem является структурой. Перечислим поля структуры draw.

draw.s.objs - массив ячеек солидных геометрических объектов (1D, 2D, 3D).
draw.s.name - массив строковых ячеек имён солидных геометрических объектов 
(по умолчанию это значение ключевого параметра ns функции geomcsg) (1D, 2D, 3D).
draw.s.sf - строка символов с множественным выражением 
(по умолчанию это свойство значение ключевого параметра sf функции geomcsg) (1D, 2D, 3D). 
Вся расчётная область геометрически определяется этим множественным выражением.
draw.f.objs - массив ячеек face-объектов (3D).
draw.f.name - массив строковых ячеек имён face-объектов (3D). Это поле игнорируется функцией geomcsg.
draw.c.objs - массив ячеек криволинейных объектов (2D, 3D).
draw.c.name - массив строковых ячеек имён криволинейных объектов. Это поле игнорируется функцией geomcsg.
draw.p.objs - массив ячеек точечных объектов (1D, 2D, 3D).
draw.p.name - массив строковых ячеек имён точечных объектов (1D, 2D, 3D). Это поле игнорируется функцией geomcsg.

fem.geom

Значением этого поля может быть геометрический объект, получаемый функцией geomcsg из всех объектов в поле fem.draw. Пример:

fem.geom=geomcsg(fem);

fem.equiv

В одномерной, двумерной и трехмерный расчётной области можно задавать периодические граничные условия, делая некоторые пары границ эквивалентными. Эти пары определены в столбцах дополнительной матрицы fem.equiv, например

fem.equiv=[1 3 4; 2 5 7];

Этот оператор MATLAB делает границы 1 и 2 эквивалентами, пары границ 3, 5 и 4, 7 тоже будут эквивалентными. Одинаковые номера границ не должны встречаться одновременно в первой и второй строке матрицы. Требуется, чтобы пары эквивалентных границ удовлетворяли условию взаимно однозначного преобразования друг для друга.

В трехмерной расчётной области также требуется, чтобы параметризации из этих двух граничных поверхностей были совместимы. Соответствие между точками на эквивалентных границах определяется параметрами s1 и s2, то есть две точки находятся во взаимнооднозначном соответствии, если они имеют одни и те же значения параметров.

В двумерной расчётной области соответствие между точками на двух эквивалентных границах определяется длиной дуги, считаемой в направлении увеличения параметра. То есть, две точки находятся во взаимнооднозначном соответствии, если соответствующие длины дуги (от отправных точек кривых) равны. Можно полностью изменять направление одной из кривых в этом соответствии, подставляя знак "минус" во второй строке, например, оператор MATLAB

fem.equiv=[1 3 4; 2 -5 7];

делает границу 3 эквивалентной границе 5 с изменённым направлением соответствия точек кривых. Создание эквивалентных границ автоматически не даёт периодические граничные условия; это только сообщает генератору сетки, что нужно генерировать совместимые фрагменты конечноэлементной сетки на эквивалентных границах. См. также "Периодические граничные условия" в справочном документе "Reference Manual", где описана технология задания периодических граничных условий.

fem.mesh

Это поле содержит информацию о конечноэлементной сетке модели FEMLAB. 
Поле mesh является структурой. Перечислим поля структуры mesh.

mesh.p - матрица координат основных узлов конечноэлементной сетки. 
Число строк равно числу измерений расчётной области. Число столбцов равно числу основных узлов сетки.
mesh.e - матрица граничных элементов. Её формат зависит от числа измерений расчётной области.
mesh.t - матрица конечных элементов. Её формат зависит от числа измерений расчётной области.
mesh.vg - матрица точечных объектов. Её формат зависит от числа измерений расчётной области. 
В режиме 2D это поле mesh.v.
mesh.eg - матрица элементов рёбер (только 3D).
mesh.equiv - матрица "эквивалентных" граничных элементов (см. также fem.equiv).

Структура mesh в 3D

mesh.p=[x; y; z],

где x - матрица-строка координат x основных узлов; y - матрица-строка координат y основных узлов; z - матрица-строка координат z основных узлов.

mesh.e=[p1;p2;p3; u1;v1; u2;v2; u3;v3; bd; sdu;sdd],

где p1, p2, p3 - матрицы-строки глобальных номеров основных узлов, являющихся вершинами "треугольных" граничных элементов; u1,v1, u2,v2, u3,v3 - значения параметров вершин в граничном face-сегменте; bd - матрица-строка номеров граничных face-сегментов, которым принадлежат граничные элементы; sdu - матрица-строка номеров зон, граничащих с граничными элементами, причём если смотреть из этих зон, то движение в порядке возрастания локальных номеров вершин происходит против часовой стрелки; sdd - матрица-строка номеров зон, граничащих с граничными элементами, причём если смотреть из этих зон, то движение в порядке возрастания локальных номеров вершин происходит по часовой стрелке. Столбцам матрицы mesh.e соответствуют граничные элементы.

mesh.t=[p1;p2;p3;p4;sd],

где p1, p2, p3, p4 - матрицы-строки глобальных номеров основных узлов, являющихся вершинами "тетраэдральных" конечных элементов; sd - матрица-строка номеров зон, которым принадлежат конечные элементы. Столбцам матрицы mesh.t соответствуют конечные элементы. Локальная нумерация вершин соответствует положительному значению определителя конечного элемента, составленного для основных узлов.

mesh.vg=[i1;sn;fn],

где i1 - матрица-строка номеров основных узлов сетки, соответствующих точечным объектам; sn - матрица-строка номеров зон, которым принадлежат точечные объекты. Если какой-либо объект принадлежит нескольким зонам, то это соответствует значению NaN. fn - матрица-строка номеров face-сегментов, которым принадлежат точечные объекты. Если какой-либо объект не принадлежит одному face-сегменту, то это соответствует значению NaN. Столбцам матрицы mesh.vg соответствуют точечные объекты. mesh.eg=[p1;p2; s1;s2; en],

где p1, p2 - матрицы-строки глобальных номеров основных узлов, являющихся вершинами рёберных элементов; s1, s2 - матрицы-строки значений параметров вершин в криволинейных рёбрах, которым принадлежат элементы; en - матрица-строка номеров рёбер, которым принадлежат элементы.

mesh.equiv=[i1;i2;p1;p2;p3],

где i1, i2 - матрицы-строки номеров граничных элементов, которые нужно сделать эквивалентными; p1 - матрица-строка локальных номеров вершин граничных элементов с номерами i2, соответствующих первым вершинам граничных элементов с номерами i1; p2 - матрица-строка локальных номеров вершин граничных элементов с номерами i2, соответствующих вторым вершинам граничных элементов с номерами i1; p3 - матрица-строка локальных номеров вершин граничных элементов с номерами i2, соответствующих третьим вершинам граничных элементов с номерами i1.

Структура mesh в 2D

mesh.p=[x; y],

где x - матрица-строка координат x основных узлов; y - матрица-строка координат y основных узлов. Столбцам матрицы mesh.p соответствуют основные узлы сетки.

mesh.e=[p1;p2; s1;s2; en; l; r],

где p1, p2 - матрицы-строки глобальных номеров основных узлов, являющихся вершинами граничных элементов, представляющих собой отрезки; s1, s2 - матрицы-строки значений параметров вершин граничных элементов в граничных сегментах, которым принадлежат эти элементы; en - матрица-строка номеров граничных сегментов, которым принадлежат граничные элементы; l - матрица-строка номеров зон, находящихся слева от граничных элементов, если двигаться в сторону увеличения параметра; r - матрица-строка номеров зон, находящихся справа от граничных элементов, если двигаться в сторону увеличения параметра. Столбцам матрицы mesh.e соответствуют граничные элементы.

mesh.t=[p1;p2;p3;sd],

где p1, p2, p3 - матрицы-строки глобальных номеров основных узлов, являющихся вершинами "треугольных" конечных элементов; sd - матрица-строка номеров зон, которым принадлежат конечные элементы. Столбцам матрицы mesh.t соответствуют конечные элементы. Локальная нумерация вершин соответствует положительному значению определителя конечного элемента, составленного для основных узлов.

mesh.v=[i1;sn],

где i1 - матрица-строка номеров основных узлов сетки, соответствующих точечным объектам; sn - матрица-строка номеров зон, которым принадлежат точечные объекты. Если какой-либо объект принадлежит нескольким зонам, то это соответствует значению NaN. Столбцам матрицы mesh.v соответствуют точечные объекты.

mesh.equiv=[i1;i2;p1;p2],

где i1, i2 - матрицы-строки номеров граничных элементов, которые нужно сделать эквивалентными; p1 - матрица-строка локальных номеров вершин граничных элементов с номерами i2, соответствующих первым вершинам граничных элементов с номерами i1; p2 - матрица-строка локальных номеров вершин граничных элементов с номерами i2, соответствующих вторым вершинам граничных элементов с номерами i1.

Структура mesh в 1D

mesh.p - матрица-строка значений координат основных узлов.

mesh.e=[p1; bn; l; r],

где p1 - матрица-строка глобальных номеров основных узлов, выполняющих роль граничных элементов; bn - матрица-строка номеров граничных сегментов; l - матрица-строка номеров зон, находящихся слева от граничных элементов; r - матрица-строка номеров зон, находящихся справа от граничных элементов. Столбцам матрицы mesh.e соответствуют граничные элементы.

mesh.t=[p1;p2;sd],

где p1, p2 - матрицы-строки глобальных номеров основных узлов, являющихся вершинами одномерных конечных элементов; sd - матрица-строка номеров зон, которым принадлежат конечные элементы. Столбцам матрицы mesh.t соответствуют конечные элементы.

Матрицы точечных объектов в структуре mesh нет. Её роль выполняет поле mesh.e.

mesh.equiv=[i1;i2;p1],

где i1, i2 - матрицы-строки номеров граничных элементов, которые нужно сделать эквивалентными; p1 - матрица-строка, состоящая из единиц.

Структура mesh в 0D

mesh.p=zeros(0,1);

mesh.t=[1;1];

fem.appl

Это поле представляет собой массив ячеек структур типа appl. Каждому прикладному субрежиму соответствует своя структура appl. Перечислим поля этой структуры.

appl.assign - массив строковых ячеек с именами назначенных переменных прикладного режима.

appl.bnd - структура, содержащая информацию о граничных условиях для данного прикладного субрежима.

appl.border - массив строковых ячеек, содержащий значения 'off' или 'on' для каждой зависимой переменной прикладного субрежима. 'off' - граничные условия для внутренних границ не задаются, 'on' - задаются.

appl.dim - массив строковых ячеек с именами зависимых переменных данного прикладного субрежима.

appl.edg - структура, содержащая информацию о граничных условиях, заданных на рёбрах, для данного прикладного субрежима.

appl.elemdefault - строка символов, содержащая имя типа конечных элементов, применяемых по умолчанию к зонам расчётной области. Данное умолчание распространяется на один прикладной субрежим.

appl.equ - структура, содержащая информацию о распределении коэффициентов PDE и параметрах материальных свойств в зонах расчётной области.

appl.form - строка символов, характеризующая форму представления краевой задачи в рамках данного прикладного субрежима. Это поле может принимать значения 'coefficient', 'general' или 'weak'.

appl.mode - это поле содержит объект, тип и значение которого описывают данный прикладной режим. Эти объектовые типы определены либо в ядре пакета FEMLAB, либо в его модулях расширения.

appl.pnt - структура, содержащая информацию о материальных свойствах точечных объектов.

appl.shape - массив строковых ячеек, содержащих выражения, возвращающие значения объектового типа, описывающие функции формы конечных элементов в зонах расчётной области. Здесь просто перечисляются все варианты функций формы в зонах, причём порядок следования вариантов может быть произвольным. Число ячеек может быть меньше, чем зон. Формат этого поля такой же, как у fem.shape.

appl.sshape - порядок аппроксимации геометрии в данном прикладном субрежиме.

appl.var - определение переменных прикладного субрежима.

fem.dim

Это поле определяет имена зависимых переменных FEMLAB-модели. Рассмотрим некоторые примеры.

fem.dim={'u','v','p'};

Этот оператор определяет три зависимые переменные с именами u, v, p.

fem.dim=1;

Этот оператор определяет одну зависимую переменную с именем u.

fem.dim=3;

Этот оператор определяет три зависимые переменные с именами u1, u2, u3.

fem.shape

Формат этого поля такой же, как и у appl.shape. Пусть расчётная область модели FEMLAB состоит из четырёх зон. Пусть в зонах № 1 и 2 определены Лагранжевы элементы первого порядка, а в зонах № 3 и 4 - Лагранжевы элементы второго порядка. Пусть зависимая переменная модели имеет имя T. Тогда поля fem.shape и fem.equ.shape можно определить следующим образом:

fem.shape={'shlag(2,'T')' 'shlag(1,'T')'};

fem.equ.shape={[2] [1]}; % индексы ячеек в поле fem.shape

Более подробно поля fem.shape, fem.equ.shape, fem.bnd.shape, fem.edg.shape и fem.pnt.shape описаны в справочном документе "Reference Manual" в разделе "Shape Functions".

fem.const

fem.const={'ConstName1',ConstValue1,'ConstName2',ConstValue2,…'ConstNameN',ConstValueN}, где ConstName1, ConstName2, ConstNameN - имена определяемых констант; ConstValue1, ConstValue2, ConstValueN - значения констант или определяющие выражения FEMLAB.

fem.expr

В этом поле определяются expressions-переменные на уровне геометрии. Существуют также expressions-переменные на уровне зон, границ, рёбер и точечных объектов. Эти переменные определяются в полях fem.equ.expr, fem.bnd.expr, fem.edg.expr, fem.pnt.expr. Эти поля имеют следующий формат:

fem.expr={'VarName1','VarDef1','VarName2','VarDef2',…'VarNameN','VarDefN'},

где VarName1, VarName2, VarNameN - имена определяемых переменных; VarDef1, VarDef2, VarDefN - определяющие выражения FEMLAB. В полях fem.equ.expr, fem.bnd.expr, fem.edg.expr, fem.pnt.expr 'VarDef1', 'VarDef2', 'VarDefN' - массивы строковых ячеек с определяющими выражениями в зонах, face-границах, рёбрах и точечных объектах.

fem.var

Это поле аналогично fem.expr, только переменные определённые здесь, имеют более высокий приоритет, чтобы иметь возможность в прикладных режимах определять назначенные переменные, которые могут перекрывать expressions-переменные. Подробности см. в справочном документе "Reference Manual" в разделе "Application-specific Variables".

fem.lib

Это поле определяет библиотеку материальных свойств для всей совокупности прикладных субрежимов одной модели FEMLAB. Организацию этой библиотеки рассмотрим на примере.

fem.lib.material1.name = 'copper';
fem.lib.material1.type = 'material';
fem.lib.material1.rho = '8960*(1-4.8e-5*(T-293))';
fem.lib.material1.c = '390';
fem.lib.material2.name = 'gold';
fem.lib.material2.type = 'material';
fem.lib.material2.c = '130';

Как видно, структура lib имеет поля material1, material2, … Каждое из этих полей соот-ветствует своему материалу и описывает соответствующие физические свойства. Каждое из этих полей является структурой, имеющей два обязательных поля и неограниченное число необязательных полей. Обязательные поля - name и type. name - имя материала. type может принимать значение 'material' или 'section'. Тип 'material' описывает свойства зон, тип 'section' описывает свойства сечений расчётной области (face-объектов и др.). Необязательные поля имеют имена параметров материальных свойств. В приведённом примере в модели FEMLAB будут созданы переменные с именами material1_rho, material1_c, material2_c.

Подробности см. в справочном документе "Reference Manual" в разделе "FEM.LIB - Material Library".

fem.equ

Часто удобно обрабатывать несколько зон расчётной области как одну. Это можно делать, формируя группы зон. Группы зон определяются в дополнительном поле fem.equ.ind. Это поле может быть массивом ячеек числовых матриц-строк или числовой матрицей-строкой. Пусть расчётная область состоит из 6 зон: зоны 1, 2 - первая группа, зоны 6, 3, 4 - вторая группа. Тогда поле fem.equ.ind можно определить одним из двух возможных способов:

fem.equ.ind={[1 2] [6 3 4]};

или

fem.equ.ind=[1 1 2 2 0 2];

Expressions-переменные в зонах определяются следующим образом:

fem.equ.expr={'VarName1',VarDef1,'VarName2',VarDef2,…'VarNameN',VarDefN},

где VarDef1, VarDef2, VarDefN - массивы строковых ячеек с определяющими выражениями в зонах. Определяющие выражения записываются по группам зон, сформированным в поле fem.equ.ind. Число ячеек в определяющих массивах равно числу групп зон.

Перечислим наиболее важные поля структуры equ для коэффициентной формы.

equ.var={'VarName1',VarDef1,'VarName2',VarDef2,…'VarNameN',VarDefN},

где VarName1, VarName2, VarNameN - имена переменных "уравнение-основанного" прикладного режима, VarDef1, VarDef2, VarDefN - строки символов с определяющими вырежениями FEMLAB.

equ.ind - определение групп зон, как показано выше.

equ.da, equ.c, equ.al, equ.ga, equ.be, equ.a, equ.f - поля, определяющие распределение коэффициентов PDE (параметров материальных свойств) в зонах.

equ.weak, equ.dweak, equ.constr - поля, определяющие weak-компоненты краевой задачи в зонах. equ.init - поле, определяющее распределение начальных условий в зонах.

equ.gporder - поле, определяющее порядок аппроксимирующих полиномов при интегрировании выражений по конечным элементам в зонах.

equ.cporder - поле, определяющее порядок аппроксимирующих полиномов при учёте нелокальных связей между конечными элементами в зонах.

Эти "материальные" поля представляют собой многоуровневые массивы ячеек. Число ячеек на верхнем уровне равно числу групп зон.

equ.shape - массив ячеек, кратко описанный в fem.shape. Здесь число ячеек также равно числу групп зон.

equ.expr - поле, определяющее expressions-переменные на уровне зон. Формат описан выше. Аналогичный формат имеют поля fem.bnd, fem.edg, fem.pnt.

fem.border

Формат этого поля такой же, как у appl.border.

fem.mat

Это поле предусмотрено для расширения возможностей системы FEMLAB. Можно прибавлять дополнительные вклады в глобальные матрицы D, K, L, М, N FEMLAB-модели. Поле fem.mat может быть задано одним из следующих трёх способов.

  1. fem.mat='func',

    где func - имя функции, имеющей следующий формат:

    [D,K,L,М,N]=func(fem,u0);

    fem - структура fem модели; u0 - вектор решения, для которого вычисляются матрицы (он бывает нужен для нелинейных задач).
  2. fem.mat - структура, содержащая некоторые из полей с именами D, K, L, М, N. Каждое из этих полей может быть либо числовой матрицей, либо именем функции, имеющей формат

    MAT=func(fem,u0);

    и возвращающей нужную матрицу.
  3. fem.mat - массив ячеек, состоящий из элементов первых двух типов.

fem.xmesh

Это поле содержит информацию о расширенной конечноэлементной сетке. Это поле в структуре fem является обязательным для работы решателей пакета FEMLAB. Поле fem.xmesh может быть сформировано функцией meshextend:

fem.xmesh=meshextend(fem);

или

fem.xmesh=meshextend(fem,'standard','off');

или

fem.xmesh=meshextend(fem,'cplbndsh','off','cplbndeq','off');

Кратко перечислим поля структуры xmesh.

xmesh.el - массив ячеек, содержащий полную информацию о типах конечных элементов в расчётной области. Значения этих ячеек - "элементные" объекты, типы которых определены в пакете FEMLAB.

xmesh.eleminit - массив ячеек, содержащий полную информацию о начальных условиях FEMLAB-модели.

xmesh.p - массив ячеек, содержащий информацию о координатах всех узлов конечноэлементной сетки: основных и дополнительных (дополнительные узлы бывают в тех случаях, когда функции формы конечных элементов имеют порядок выше первого). Каждой ячейке соответствует одна односвязная область. Это поле очень полезно для самостоятельной интерпретации результатов решения краевой задачи в поле fem.sol.

xmesh.elmesh, xmesh.dmesh - массивы ячеек, содержащие дополнительную информацию о конечноэлементной сетке.

xmesh.name - массив строковых ячеек с именами зависимых переменных.

xmesh.gdof - массив ячеек столбцовых матриц глобальных номеров узлов конечноэлементной сетки. Каждой ячейке соответствует одна односвязная область. Столбцовые матрицы имеют тип uint32. xmesh.hashkey - число.

fem.init

Это поле содержит узловое распределение начальных условий FEMLAB-модели. Это распределение имеет такой же формат, как и узловое распределение решения стационарной краевой задачи. Это поле может быть сформировано функцией asseminit:

fem.init=asseminit(fem,...);

Подробности см. в описании функции asseminit. Возможные форматы поля fem.init описаны там же. Узловое распределение начального условия записывается в поле fem.init.u. Оно представляет собой столбцовую матрицу размера (ndim*NP,1), где ndim - число зависимых переменных модели, NP - число узлов конечноэлементной сетки (основных и дополнительных). Произведение ndim*NP иначе называют числом степеней свободы модели.

fem.sol

Это поле представляет собой структуру, которая в общем случае может иметь три поля.

sol.u - матрица узлового распределения решения краевой задачи. Если задача стационарная, то это столбцовая матрица. Первые NP членов этой матрицы относятся к первой зависимой переменной, следующие NP членов - ко второй и т.д. Если задача нестационарная, то sol.u - прямоугольная матрица, в которой каждый столбец соответствует своему моменту времени. Если решена задача на собственные значения, то каждый столбец матрицы sol.u соответствует своему собственному значению. Здесь число столбцов равно числу найденных собственных значений.

При нестандартной самостоятельной обработке решения координаты узлов расширенной сетки можно извлечь из поля fem.xmesh.p, а глобальные номера узлов в последнем поле находятся в fem.xmesh.gdof.

sol.tlist - матрица-строка, содержащая список моментов времени, для которых решена нестационарная задача. Каждый член этой матрицы соответствует столбцу матрицы sol.u.

sol.lambda - матрица-строка, содержащая список найденных собственных значений модели. Каждый член этой матрицы соответствует столбцу матрицы sol.u.

В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу


Поиск по сайту:

Система Orphus

Яндекс.Метрика