MATLAB.Exponenta
MATLAB и Simulink на русском
Технологии разработки и отладки
		сложных технических систем

Femlab

Femlab 2.3. Руководство пользователя (перевод с английского с редакторской правкой В.Д.Лебедева):
5.11. Модели полупроводниковых устройств

В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу

5.11. Модели полупроводниковых устройств

Полупроводниковое моделирование включает диффузионные процессы, связанные концентрациями дырок и электронов, а также распределение электрического потенциала. Тепловые явления также участвуют в расчетах. Модели полупроводниковых приборов часто носят мультифизичный характер и имеют высоко нелинейные свойства, делающие их труднорешаемыми.

5.11.1. Модель полупроводникового диода

Полупроводниковый диод состоит из двух областей с различным легированием полупроводника: дырочной области (p-типа) с доминирующей концентрацией дырок и электронной области (n-типа) с доминирующей концентрацией электронов. Электрод анода подсоединен к области p-типа, а катод соединяются с областью n-типа. Примеси, добавленные в полупроводниковый материал при изготовлении, определяют тип примесной проводимости каждой области. В физике полупроводников концентрацию примеси обычно обозначают N. Отрицательная величина концентрации примеси определяется атомами акцепторов (полупроводник p-типа), а положительная величина определяется атомами доноров (полупроводник n-типа).

Полупроводниковую модель можно получить, основываясь на уравнениях Максвелла и теории переноса Больцмана с использованием некоторых общепринятых упрощений, например, не учитывая магнитные поля и задавая однородную плотность концентраций. При построении модели используются три зависимые переменные: ф, n, и p. Даже самый простой вид этой модели, содержит значительные нелинейные зависимости. Три основные уравнения для полупроводников представлены в...

Эти уравнения содержат следующие переменные:

  • ф - электростатический потенциал;
  • q - элементарный заряд (заряд электрона);
  • p и n - концентрации дырок и электронов, соответственно;
  • N представляет постоянный заряд, определяемый ионизированными донорами.
Плотности электронного Jn и дырочного Jp токов могут быть выражены через ф, n, и p:

где un и up - подвижности носителей заряда, а Dn и Dp - коэффициенты диффузии электронов и дырок.

Параметр RSRH представляет собой рекомбинацию Шокли-Рида-Холла, которая является основным процессом рекомбинации через ловушки, находящиеся в запрещенной зоне полупроводника.

где ni - концентрация носителей в собственном полупроводнике, Тn, и Tp обозначают время жизни носителей, а n1 и p1 - параметры, связанные с энергетическим уровнем ловушек. Если уровень ловушки расположен в середине запрещенной зоны (как предполагается), то n1 и p1 равны ni.

Граничные условия

На протяжении границ, прилегающих к изоляции, можно использовать симметричные граничные условия. Для границ, находящихся далеко от активной зоны прибора, электрическое поле и плотности электрических токов имеют нулевую нормальную компоненту. Оба типа границ можно описать с помощью граничных условий Неймана:

На границах, контактирующих с металлом, электрический потенциал постоянен. Если принять, что скорость рекомбинации на электроде бесконечна, вступает в силу закон действующих масс:

На этом основании можно вычислить концентрации носителей, используя данный закон при концентрации легирующей примеси N и предположив, что отсутствует заряд на электроде. Приложенное напряжение равно уровню Ферми в полупроводнике на электроде, поэтому электростатический потенциал на электроде составляет: приложенное напряжение плюс разность энергий между уровнем Ферми и опорным уровнем, используемым для электростатического потенциала. Разность энергий имеет логарифмическую зависимость от концентраций носителей. Граничными условиями являются

где Va - приложенное напряжение. Это упрощенный тип электрического контакта. Однако имеется возможность задавать электроды из определенного металла (например, в базе данных Femlab хранятся параметры физических свойства алюминия или титана). Кроме того, можно задать электрический ток через электрод вместо напряжения.

Пример модели

Геометрия диода
Геометрия диода представлена на рис. 5.11.1.


Рис. 1. Геометрические размеры полупроводникового диода

Толстые линии на рис. 1 показывают электрические контакты. В данном примере к аноду приложен потенциал Va, а катод заземлен.

Для задания геометрических разеров использованы следующие обозначения.

Построение сетки

Большой динамический диапазон концентраций носителей делает численное моделирование полупроводниковых уравнений трудной задачей, особенно потому, что основной диапазон изменений характеристик располагается в окрестностях перехода. Поэтому необходимо выбирать сетку весьма тщательно, иначе процесс решения может не сойтись или дать неточные результаты. В рассматриваемом примере, граница подобластей перехода размещена, чтобы установить высокую точность. Сетку следует делать более плотной вокруг перехода и рядом с электродами катода и анода. Для получения дополнительной точности необходимо использовать адаптивный решатель.

Свойства материалов

Самым распространенным материалом, используемым для создания полупроводниковых устройств, является кремний. Следующая таблица содержит информацию об основных физических свойствах полупроводникового материала, используемого в этой модели.

Подвижности и коэффициенты диффузии часто зависят от N, но эти явления сравнительно невелики в диодной структуре. Время жизни носителей может изменяться от нескольких пикосекунд до нескольких микросекунд и зависит от параметров, таких как уровень легирования полупроводника, температура, а также от расположения центров рекомбинации носителей.

Функция распределения концентрации примеси

Легирование p-типа полупроводникового диода может быть выполнено имплантацией или диффузией акцепторных атомов. Конечное распределение легирующей примеси этих двух операций часто аппроксимируется функцией Гаусса. Кроме того, пространство между n-высоколегированной подложкой и менее легированного n-типа эпитаксиального слоя может также быть аппроксимировано функцией Гаусса. Это происходит потому, что легирующие примеси диффундируют с высоколегированной подложки при высокотемпературной эпитаксии. Конечное выражение для легированного полупроводникового диода таково:

где NDn - легирование эпитаксиального слоя полупроводника, NDnmax - легирование подложки, NApmax - максимальное значение имплантации диффузионного профиля. G - функция Гаусса, определенная как

Константы, используемые в уравнениях (7) и (8) представлены в таблице.

Граничные условия

Граничные условия на электродах определяются выражениями (6).

Чтобы вычислить точное значение электрического тока, можно использовать слабые ограничения для граничных условий на контактах. Чтобы осуществить слабые граничные условия на n и p, необходимо ввести множители Лагранжа lm2 и lm3 на аноде и катоде. Переменные lm2 и lm3 будут более точными, чем может получиться из выражения для плотности тока. Поэтому исходящая нормальная плотность тока является q*lm2 и -q*lm3 для электронов и дырок, соответственно.

Исследование параметров

Численное решение весьма сложно для повышенного анодного напряжения. Необходимо увеличивать напряжение от 0 В постепенно маленькими шагами и использовать решение предыдущего шага как начальное условие для следующего. Эту задачу выполнит автоматически параметрический решатель. Анодное напряжение Va будет изменяться от 0 В до 1 В с шагом 0.025 В.

Кроме того, необходимо задать нелинейному решателю начальные приближения для, соответствующего решения при Va=0, которые совпадают с граничными условиями.

Начальное приближение для lm2 и lm3 равно нулю. Поскольку задача нелинейна, необходимо привести ее к универсальной форме для получения правильного якобиана и быстрой сходимости.

FEMLAB позволяет задать степень свободы, устанавливая значения для степеней свободы. Относительное значение допуска в нелинейном решателе - по умолчанию 10-6. Абсолютный допуск является временем вычисления при относительном допуске. Решатель игнорирует ошибки, которые меньше абсолютного допуска. В этом случае абсолютный допуск для psi переменных, u и v равен 10-6, в то время как абсолютный допуск для lm2 и lm3 - 10-4. Абсолютный допуск для lm2 и lm3 должен быть, по крайней мере 10-4, потому что ошибки округления в уравнениях вырабатывают ошибки такой величины в lm2 и lm3. В этой задаче параметр длины шага управляет процессом лучше всего, если использовать высоко нелинейную опцию.

РЕЗУЛЬТАТЫ

Когда не подано смещающее напряжение, концентрация дырок находится в тепловом равновесии. Подавая напряжение прямого смещения (начиная с 0.5 В), дырки из области p-типа переходят через низко легированную область n-типа без существенной рекомбинации (рис.2). В результате, в области n-типа концентрация дырок увеличивается на несколько порядков.


Рис. 2. Концентрация дырок при прямом смещении 0.5 В

Вычисление вольтамперных характеристик

Чтобы вычислять электрические токи, проходящие через анод и катод, необходимо проинтегрировать нормальные компоненты плотности тока n·Jn, n·Jn, которые более точно выражаются множителями Лагранжа lm2 и lm3, соответственно. Электрические токи, проходящие через анод и катод, выражаются как

Поскольку модель двухмерная единицей тока является - A/мкм. Обратите внимание, что Ia и Ik являются токами с отдельным значением для каждого напряжения. Точное соотношение токов анода и катода найдено при помощи метода конечных элементов. Чтобы убедится, рассмотрим элементарные уравнения

которые справедливы для всех тестовых функций utest и vtest в области конечных элементов. B является объединением анода и катода. Вычитание этих уравнений при utest=vtest=1 дает

которое показывает что Ia=Ik. График на рис.2 показывает зависимость тока относительно напряжения.

Поскольку ток при нулевом напряжении равен нулю (теоретически), этот участок был упущен из графика.


Рис. 2. Вольтамперная характеристика полупроводникового диода, построенная в логарифмическом масштабе.

Один очень важный параметр в диодном уравнении - коэффициент идеальности n.

Коэффициент n находится между 1 и 2, где n ~ 1 представляет идеальный диод. В диоде с n ~ 2 преобладает рекомбинационный ток [1]. На кривой вольтамперной характеристики можно выделить два различных наклона при прямом смещении перехода. Эти наклоны зависят от коэффициента идеальности, первый с n = 1,6, а второй с n =1,08. Такое состояние типично для обычных кремниевых диодов; при малом смещении перехода в прямом направлении почти весь ток определяется рекомбинацией, а когда наклон увеличивается, токовые характеристики становятся почти идеальными (n ~ 1), что соответствует диффузионному току.

Ссылки

  1. Зи С. Физика полупроводниковых приборов: В 2 кн.: Пер. с англ. - 2-е изд. перераб. и доп. - М.: Мир, 1984.
  2. Selberherr, S, Analysis and Simulation of Semiconductor Devices, Springer-Verlag. 1984, ISBN 0-387-81800-6.

Местонахождение примера в библиотеке моделей: FEMLAB/Semiconductor_Devices/ semiconductor_diode.

Моделирование с использованием пользовательского графического интерфейса

Навигатор моделирования
  1. В Навигаторе моделей, выберите 2D из списка Space dimension.
  2. Нажмите кнопку Multiphysics.
  3. В папке Electromagnetics выберите Electrostatics. Убедитесь, что в списке элементов Element выбран Lagrange - Quadratic.
  4. В поле для редактирования зависимых переменных Dependent variables введите psi.
  5. Нажмите Add (добавить).
  6. В папке Diffusion выберите Convection and Diffusion, а затем нажмите Steady-state analysis. Убедитесь, что в списке элементов Element выбран Lagrange - Quadratic.
  7. В поле для редактирования зависимых переменных Dependent variables введите cn.
  8. Нажмите Add.
  9. Нажмите Application mode properties, выберите Conservative из списка Equation form и Ideal из списка Weak Constraints.
  10. В папке Diffusion выберите Convection and Diffusion, затем Steady-state analysis. Убедитесь, что в списке Element выбран Lagrange - Quadratic.
  11. В поле для редактирования Dependent variables введите cp.
  12. Нажмите Add.
  13. Нажмите Application mode properties, выберите Conservative из списка Equation form и Ideal из списка Weak Constraints.
  14. Нажмите OK.
Опции и параметры настройки
  1. Из меню Options выберите Constants.
  2. В диалоговом окне Constants определите следующие константы с именами и их величинами:

  3. Из меню Options выберите Axes/Grid Settings.
  4. Введите параметры осей и настройки сетки в таблицу. Введите интервал сетки, предварительно убрав флаг Auto.

  5. Нажмите ОК.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ

  1. В графическом режиме задайте прямоугольник, "растягивая" его от (0,-7e-6) до (5e-6, 0).
  2. Уберите выделение с кнопки SOLID строки состояния, используя двойное нажатие.
  3. Нажмите кнопку Line и нарисуйте линию с координатами (0,-1e-6) и (2e-6, -1e-6).
  4. Нажмите кнопку 2nd Degree Bezier Curve и продолжите линию П.3, рисуя дугу к точке (3e-6,-1e-6) и закончив дугу в точке (3e-6, 0).
  5. Нажмите кнопку Point и добавьте точку (2e-6, 0).
  6. Нажмите кнопку инструментальной панели Zoom Extents .

Настройка физических параметров

Переменные величины используемые в выражениях.

  1. В меню Options наведите курсор на Expressions, a затем Scalar expressions.
  2. Введите каждый элемент в таблицу единой строкой без разрывов.

  3. Нажмите ОК.

Интегрирование связанных переменных

Ток катода Ic установлен как интеграл нормальной составляющей плотности тока вдоль катода. Это может быть осуществлено, при помощи интегрирования связанных переменных:
  1. В меню Options выберите пункт Integration Coupling Variable, а затем нажмите Boundary Variables.
  2. Выберите границу 2 и наберите Ic в колонке Name и 1e-6*q*(lm2-lm3) в колонке Expression, и 4 в колонке Integration order.
Граничные условия
  1. В меню Multiphysics выберите режим Electrostatics (es).
  2. Откройте диалоговое окно Boundary Settings и введите следующие параметры настройки:

  3. В меню Multiphysics выберите прикладной режим Convection and Diffusion (cd).
  4. Откройте диалоговое окно Boundary Settings и введите следующие параметры настройки:

  5. В меню Multiphysics выберите прикладной режим Convection and Diffusion (cd2).
  6. Откройте диалоговое окно Boundary Settings и введите следующие параметры настройки:

Параметры настройки подобластей
  1. В меню Multiphysics выберите прикладной режим Electrostatics.
  2. Откройте диалоговое окно Subdomain Settings и введите следующие параметры настройки:

  3. Нажмите вкладку Init и введите следующее начальное значение:

  4. В меню Multiphysics выберите прикладной режим Convection and Diffusion (cd).
  5. Откройтесь диалоговое окно Subdomain Settings и введите следующее параметры настройки:

  6. Нажмите вкладку Init и введите следующее начальное значение:

  7. В меню Multiphysics выберите прикладной режим Convection and Diffusion (cd2).
  8. Откройтесь диалоговое окно Subdomain Settings и введите следующее параметры настройки:

  9. Нажмите вкладку Init и введите следующее начальное значение:

Генерация сетки
  1. В меню сетки Mesh выберите ее параметры Mesh Parameters.
  2. Выберите закладку Boundary.
  3. Выбрав границы 2, 4, 5 и 9 напечатайте 1e-7 в поле для редактирования Maximum element size.
  4. Нажмите кнопку Remesh, а затем OK.
Задание параметров решения
  1. В меню Solve выберите Solver Parameters.
  2. В списке решателей Solver выберите Parametric nonlinear.
  3. Напечатайте Va в поле Name of parameter и затем введите 0:0.025:1 в поле List of parameter values.
  4. Выберите вкладку Nonlinear. Введите 50 в поле List of parameter values.
  5. Установите флаг Highly nonlinear problem.
  6. Нажмите OK, а затем кнопку Solve, чтобы запустить моделирование.

Постобработка и визуализация

Полученное графическое изображение представляет распределение концентраций дырок в логарифмическом масштабе. Распределение соответствует приложенному напряжению к диоду, заданному в качестве параметра Va=0.5.
  1. Откройте диалоговое окно Plot Parameters.
  2. Введите выражение log10 (cp), в оба поля для Surface expression и для Height expression на закладке Surface диалогового окна Plot Parameters.
  3. Нажмите OK, чтобы получить картину распределения дырок представленную на рис. 2.
  4. Для построения вольтамперной характеристики, требуется открыть диалоговое окно Domain Plot Parameters.
  5. Выберите точки напряжения и выделите все элементы кроме 0 в списке заданных параметров.
  6. Нажмите кнопку Title/Axis, чтобы открыть диалоговое окно Title/Axis Settings. Выберите логарифмический масштаб Log scale для второй оси. Нажмите ОК.
  7. На закладке счете Point напечатайте Ic в поле expression.
  8. Выберите вершину 1 и нажмите OK. В отдельном окне будет выведен график представленный на рис.2.
Модель составлена Ериком Даниелссоном, Стокгольм, Королевский институт технологии.

В оглавление книги \ К следующему разделу \ К предыдущему разделу


Поиск по сайту:

Система Orphus

Яндекс.Метрика