# Оптимизация формы

## 6. Как считать градиент?

Основной метод расчёта конструкций − МКЭ. Малое изменение геометрии конструкции приводит к малому изменению координат некоторых узлов FEM-сетки.

Изменение размера b вызывает изменение положения узлов 1, 2, 3. Частная производная по b связана с производными по x1, x2, x3, y1, y2, y3 известными геометрическими соотношениями. Поэтому, зная производные по координатам узлов, можно вычислить производные по размеру b, который определяет форму конструкции.

В МКЭ-расчетах матрицы жёсткости, масс, демпфирования, перехода от перемещений к напряжениям и вектор узловых усилий конечного элемента вычисляются по известным формулам. Компоненты этих матриц и векторов зависят от координат узлов, а для пластин и оболочек еще и от толщины, и эти зависимости известны. Их можно аналитически дифференцировать и создать процедуры, которые вычисляют производные от этих матриц и векторов по координатам узлов. Поэтому можно найти и производные от матриц и векторов элемента по любому изменяемому размеру конструкции b.

Далее аналитически дифференцируются все МКЭ-соотношения для нужной задачи, и мы получаем

## градиент целевой функции без численного дифференцирования!